杭电 2048 神、上帝以及老天爷(公式法)

题目地址：

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2048

　　话不多说，http://blog.sina.com.cn/s/blog_69fc13c50100lamw.html

概念：　　

    全错位排列，n个物质，重新排列顺序，使其均不在原位。

历史：　　

    被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707－1783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例．

　　“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：

　　个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

公式及证明：

　　n个相异的元素排成一排a1,a2,...,an,且ai(i=1,2,...,n)不在第i位的排列数为n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)

　　证明：

　　设1,2,...,n的全排列t1,t2,...,tn的集合为I,而使ti=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n),

　　则Dn=|I|-|A1∪A2∪...∪An|.

　　所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.

　　注意到|Ai|=(n-1)!,|Ai∩Aj|=(n-2)!,...,|A1∩A2∩...∩An|=0!=1.

　　由容斥原理：

　　Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!

　　=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!

　　

　　注：理论看的似懂非懂的，但是我记住了公式

 

　　

#include <stdio.h>
//装错信封的问题：公式法
double fac(int n)
{
    double s = 1.0;
    int i;
    for( i = 2; i <= n; i++ )
        s = s * i;
    return s;
}

int main()
{
    int c, n, i;
    double s;
    scanf( "%d", &c );
    while( c-- )
    {
        scanf("%d", &n);
        s = 1.0;
        for( i = 1; i <= n; i++ )
            if( i % 2 )
                s = s - 1/fac(i);
            else
                s = s + 1/fac(i);
           printf( "%.2lf%%\n", s*100 );    
    }
    return 0;
}