洛谷4514 上帝造题的七分钟（二维树状数组）

好久没写博客了.....
这段时间狂补一下

题目大意：
给定一个\(n*n\)的全0矩阵，每次有两种操作：
\(L\ a\ b\ c\ d\ delta\) 表示将左上角\((a,b)\)，右下角\((c,d)\)的矩阵加\(delta\)
\(k\ a\ b \ c \ d\) 表示求左上角\((a,b)\)，右下角\((c,d)\)的矩阵的和并输出

其中操作数\(\le 10^5\)，\(n \le 2048\)

(此题卡空间，所以不要开\(long\ long\))

qwq既然是套路题，就直接说了

这个题考察的主要是二维树状数组

首先，类比一维，二维的树状数组\(c[i][j]\)表示，第\(i\)行 向上 \(lowbit(i)\)行，第\(j\)列，向左\(lowbit(j)\)列的和是多少。

那么修改也就显而易见了

struct BIT{
	int c[maxn][maxn];
	void modify(int x,int y,int p)
	{
		for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		  for (int j=y;j<=m;j+=lowbit(j))
		  {
		  	 c[i][j]+=p;
		  }
	}
	int query(int x,int y)
	{
		int ans=0;
		for (int i=x;i;i-=lowbit(i))
		{
			for (int j=y;j;j-=lowbit(j))
			{
				ans=ans+c[i][j];
			}
		}
		return ans;
	}
};

然后，我们来考虑怎么实现区间加呢？
一维的时候，我们运用的是差分的思想
那么我们对于二维，不妨使用\(d[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i][j]\)

那么我们对于修改一个\((x1,y1)->(x2,y2)\)的矩阵，我们只需要让\(d[x1][y1]+=delta,d[x1][y2+1]-=delta,d[x2+1][y1]-=delta,d[x2+1][y2+1]+=delta\)
就可以轻松完成了qwq

那....要是用差分数组，求和貌似就需要一点学问啊
对于求一个\((1,1)->(x,y)\)的矩阵的和
就是

\[ans = \sum_{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{y}\sum_{h=1}^{i} \sum_{k=1}^{j} d[h][k] \]

我们可以通过计算每个d的出现次数

来化简这个式子

\[ans = \sum_{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{y} d[i][j]*(x-i+1)*(y-j+1) \]

然后最终的式子就是

\[\sum_{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{y} d[i][j]*(xy+x+y+1) - d[i][j]*i*(y+1)-d[i][j]*j*(x+1)+d[i][j]*i*j \]

那么我们只需要维护四个树状数组，就OK了

直接上代码

// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>

using namespace std;

inline int read()
{
   int x=0,f=1;char ch=getchar();
   while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
   while (isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
   return x*f;
}

const int maxn = 2051;

int lowbit(int x)
{
	return (x & (-x));
}

int n,m;

struct BIT{
	int c[maxn][maxn];
	void modify(int x,int y,int p)
	{
		for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		  for (int j=y;j<=m;j+=lowbit(j))
		  {
		  	 c[i][j]+=p;
		  }
	}
	int query(int x,int y)
	{
		int ans=0;
		for (int i=x;i;i-=lowbit(i))
		{
			for (int j=y;j;j-=lowbit(j))
			{
				ans=ans+c[i][j];
			}
		}
		return ans;
	}
};

BIT ymh,ymhi,ymhj,ymhij;

char s[10];
int x1,x2,yy,y2;

void add(int x,int y,int p)
{
	ymh.modify(x,y,p);
	ymhi.modify(x,y,p*x);
	ymhj.modify(x,y,p*y);
	ymhij.modify(x,y,p*x*y);
}

int sum(int x,int y)
{
	return ymh.query(x,y)*(x*y+x+y+1)-ymhi.query(x,y)*(y+1)-ymhj.query(x,y)*(x+1)+ymhij.query(x,y);
}

signed main()
{
  scanf("%s",s+1);
  n=read(),m=read();
  while (scanf("%s",s+1)!=EOF)
  { 	 
     int p;
  	 if (s[1]=='L')
	   {
	   	  x1=read(),yy=read(),x2=read(),y2=read();
	   	  p=read();
	   	  add(x1,yy,p);
	   	  add(x1,y2+1,-p);
	   	  add(x2+1,yy,-p);
	   	  add(x2+1,y2+1,p);
	   }
	  else
	  {
	  	 x1=read(),yy=read(),x2=read(),y2=read();
	  	 printf("%d\n",sum(x2,y2)-sum(x2,yy-1)-sum(x1-1,y2)+sum(x1-1,yy-1));
	  } 
  }
  return 0;
}