BIJECTIVE PROOF PROBLEMS 记录

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1. 一个 \(n\) 个元素的集合的子集个数为 \(2^n\)。
   证明：每个数选或者不选。

2. 一个我们称一个序列 \(\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_k)\) 为 \(n\) 的一个 \(composition\)，当且仅当 \(\forall i,\alpha_i>0,\sum \alpha_i=n\)，则 \(n\) 的 \(composition\) 的个数为 \(2^{n-1}\)。
   证明：插板，\(n-1\) 个板插或者不插。

3. 一个大小为 \(k\) 的 \(composition\) 的贡献为 \(k\)，\(n\) 的所有 \(composition\) 的贡献之和为 \((n+1)2^{n-2}\)
   证明：把每个 \(composition\) 取反之后对应唯一对应另外一个不同的 \(composition\)，这俩的权值之和正好是 \(n+1\)，共 \(2^{n-2}\) 对这样的 \(composition\)。

4. \(k\) 为偶数的 \(composition\) 一个有 \(2^{n-2}\) 个。
   证明：在第一个位置翻转上面的板即可。

5. 有 \(k\) 个集合，每一个集合 \(S_1\sim S_{k}\) 都是 \(\left\{1,2,...,n\right\}\) 的子集，要求计数。

   1. \(S_1\subseteq S_{2}\subseteq \dots\subseteq S_{k}\) 。
      答案：\((k+1)^n\)，考虑每一个数最先出现的集合的编号。
   2. 所有 \(S\) 互相之间没有交集。
      答案：\((k+1)^n\)，考虑每一个数出现在哪个位置。
   3. 所有 \(S\) 的交集为空。
      答案：\((2^k-1)^n\)，每一个数除了全都是 \(1\) 之外都行。

6. 证明组合数公式。
   排列数/阶乘。

7. 证明二项式定理。
   每一个是选了 \(x\) 还是 \(y\)。

8. 从 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 的路径条数。
   \(\binom{n+m}{n}\)，\(n+m\) 步中选出来 \(n\) 个向上走。

9. \(2\binom{2n-1}{n}=\binom{2n}{n}\)。
   证明：格路计数，钦定第一个走的方向。

10. \(\forall n\ge 1,\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=0\) 。
    证明：二项式定理/容斥。

11. \(\sum_{k=0}^{n}\binom{x}{k}\binom{y}{n-k}=\binom{x+y}{n}\)。
    证明：从 \(x+y\) 个元素中选 \(n\) 个元素，枚举前 \(x\) 中选了几个。

12. \(\sum_{k=0}^n\binom{x+k}{k}=\binom{x+n+1}{n}\)。
    证明：从 \(x+n+1\) 中选择 \(n\) 个，枚举第一个没选的位置即可。

13. \(\sum_{k=0}^n\binom{2k}{k}\binom{2(n-k)}{n-k}=4^n\)。
    证明：先考虑等号左边的式子，考虑把组合数刻画成格路计数，即我们去枚举一个直线 \(y=x\) 上的点 \((k,k)\)，我们要数的就是对于每一个 \(k\)，计算必须经过 \((k,k)\) 的从 \((0,0)\) 走到 \((n,n)\) 的方案数，那么也就是对于每一条从 \((0,0)\) 到 \((n,n)\) 的路径，我们定义他的权值是经过直线 \(y=x\) 的次数。
    等号右边的式子，可以看作是 \(2^{2n}\)，也就是从 \((0,0)\) 走 \(2n\) 步的所有路径的方案数。
    接下来考虑构造出来这样的双射。
    下面的步骤参考 quora博客
    现在考虑每一条路径，我们找到他的每一个和 \(y=x\) 的交点，那么我们可以从后往前考虑每一个交点，如果我们能把这个交点之后的路径映射到不固定终点的路径，那么我们的工作就完成了，记 \(S(2k)\) 除起点不经过 \(y=x\) 的走 \(2k\) 步的路径条数，那么现在我们要证明的就是 \(S(2k)=\binom{2k}{k}\)。
    所有走 \(2k\) 步且第一步走向右边的路径都可以划分到这四类中：

    • \(N1\)：除了起点，不经过 \(y=x\) 的路径。
    • \(N2\)：经过了 \(y=x\)，终点不在 \(y=x\)，向右走的次数多于向上走的。
    • \(N3\)：经过了 \(y=x\)，终点不在 \(y=x\)，向上走的次数多于向右走的。
    • \(N4\)：终点在 \(y=x\) 的路径。
      显然有 \(N2=N3\)，而且如果一条路径是 \(N3\)，向上走的次数多于向右走的显然是其充要条件，那么计数 \(N3\)，我们可以枚举向上走了多少次。
      于是有 \(N3=\binom{2k-1}{k+1}+\binom{2k-1}{k+2}+\dots+\binom{2k-1}{2k-1}\)。
      而又有 \(N2=N3\)，把组合数稍微变换一下可以得到 \(N2=\binom{2k-1}{0}+\binom{2k-1}{1}+\dots+\binom{2k-1}{k-2}\)。
      根据定义显然有 \(N1+N2+N3+N4=2^{2k-1}=\binom{2k-1}{0}+\binom{2k-1}{1}+\dots+\binom{2k-1}{2k-1}\)，\(N4=\binom{2k-1}{k}\)。
      于是我们就可以得到 \(N1=\binom{2k-1}{k-1}\)。
      则 \(S(2k)=2\times N1=\binom{2k}{k}\)。
      至此，我们证明了 \(S(2k)=\binom{2k}{k}\)。