【数论】乘法逆元
【数论】乘法逆元
Definition
对于一个数 \(x\) 和一个模数 \(p\)，若存在一个数字 \(y\)，满足
则称 \(y\) 是 \(x\) 在模 \(p\) 意义下的逆元，记做 \(x^{-1}~\equiv y \pmod p\)。
一个数字逆元在模意义下的运算中可以完全取代该数字的倒数。例如 \(\frac{x}{y}~\equiv x \times y^{-1} \pmod p\)，其中 \(y^{-1}\) 代表 \(y\) 的逆元。
Algorithm
Lemma
首先需要指出的是，一个数 \(x\) 在模 \(p\) 意义下存在逆元，当且仅当 \(x\) 与 \(p\) 互质。
Proof
这里只证明当 \(x\) 与 \(p\) 不互质时不存在逆元。对于逆元的存在性，由于下面的部分给出了逆元的构造算法，这就已经证明了在互质时逆元是存在的。
反证法，设对于任意的 \(x \in Z^+\)，存在 \(x^{-1} \in Z^+\)
且
根据同余的定义，\((1)\) 可以写成：
其中 \(k\) 是一个非负整数。
将 \((3)\) 的等号两侧同时除以 \((2)\) 中的 \(d\)：
整理得到
因为 \(d = \gcd(x, p)\)，所以 \(d\) 一定是 \(x\) 和 \(p\) 的因数。所以
\(\frac{x}{d}\) 和 \(\frac{p}{d}\) 都是整数，进而 \(\frac{p}{d} \times k\) 是整数，\(\frac{x}{d} \times x^{-1}\) 是整数。
而因为 \(d \neq 1\)，所以 \(\frac{1}{d}\) 一定不是整数，因此 \(\frac{p}{d} \times k + \frac{1}{d}\) 不是整数。
于是等号左侧是整数，等号右侧不是整数，左侧一定不等于右侧，产生矛盾。这就矛盾证明了 \(x\) 在模 \(p\) 意义下存在逆元仅当 \(x\) 与 \(p\) 互质。
以下介绍求逆元的算法：
求单个数字的逆元
Algorithm 1
显然可以转化成方程
\(x \times x^-1 = 1 + kp\)
令 \(y = -k\)，移项得到
注意到这个式子就是扩展欧几里得算法所求的式子
只不过 \(x\) 作为一个常数，是欧式式子里的 \(a\)，同理 \(p\) 是欧式式子里的 \(b\)。使用扩展欧几里得算法求解上面这个式子即可。时间复杂度 \(O(\log x)\)。
Algorithm 2
根据欧拉定理
\(x^{\phi(p)} \equiv 1 \pmod p\)
其中 \(\phi\) 为欧拉函数，\(\phi(p)\) 表示小于 \(p\) 的正整数中与 \(p\) 互质的数的个数。
等式两侧同乘 \(x^{-1}\) 可以得到
显然当 \(p\) 是一个质数时，\(\phi(p) = p - 1\)，这时可以 \(O(1)\) 算出 \(\phi(p) - 1\) 的值，即可用快速幂 \(O(\log x)\) 求出 \(x\) 的逆元。这个算法好写好记，常数也较小。一般当 \(p\) 为 int 范围内的质数时选择此算法。当 \(p\) 不在 int 范围内时，由于快速幂时需要两个 long long 相乘，会爆精度。
有关欧拉定理的证明可以看这里
求 \(n\) 以内所有正整数模 \(p\) 的逆元
显然，由于 \(n\) 以内所有正整数都有在模 \(p\) 意义下的逆元，所以 \(p\) 和 \(n\) 以内的所有数互质。
结论：设 \(inv_i\) 为 \(i\) 的逆元，则有递推式
边界条件为
Proof
首先 \(inv_1 = 1\) 显然成立。
对于 \(i > 1\)，写出 \(p\) 除以 \(i\) 的带余除法表达式：
其中 \(r \in [0, i - 1]\)
等式两侧对 \(p\) 取余数，有
移项得到
两侧同乘 \(i^{-1} \times r^{-1}\)，整理得到
由于 \(k = \left\lfloor\frac{p}{i}\right\rfloor\)，\(r = p \bmod i\)，所以原式得证。
又因为 \(r < i\)，所以在计算 \(inv_i\) 时，\(inv_r\) 已经被计算完成，所以上述递推可以完成。
证毕。
这样做的时间复杂度显然是 \(O(n)\)
求 \(n!\) 的逆元
因为 \((n!)^{-1} \equiv \frac{1}{n!} \equiv \prod_{i = 1}^n n^{-1}\)，所以线性筛出 \(n\) 以内所有数字的逆元时，可以顺便求出 \(n!\) 的逆元。时间复杂度 \(O(n)\)
Code
Ex_Gcd
#include <iostream>
typedef long long int ll;
ll x, p;
void Ex_gcd(const ll a, const ll b, ll &X, ll &Y);
int main() {
std::cin >> x >> p;
ll a, b;
Ex_gcd(x, p, a, b);
std::cout << (a % p + p) % p << std::endl;
return 0;
}
void Ex_gcd(const ll a, const ll b, ll &X, ll &Y) {
if (b == 0) {
X = 1; Y = 0;
} else {
Ex_gcd(b, a % b, Y, X);
Y -= a / b * X;
}
}
欧拉定理
#include <iostream>
typedef long long int ll;
ll X, p;
ll mpow(ll x, ll y);
int main() {
std::cin >> X >> p;
std::cout << mpow(X, p - 2) << std::endl;
return 0;
}
ll mpow(ll x, ll y) {
ll _ret = 1;
while (y) {
if (y & 1) (_ret *= x) %= p;
y >>= 1;
(x *= x) %= p;
}
return _ret;
}
线性求逆元
这里的 factinv 即为阶乘逆元。
#include <cstdio>
const int maxn = 3000005;
int n, p;
int inv[maxn], factinv[maxn];
int main() {
scanf("%d%d", &n, &p);
factinv[1] = inv[1] = 1;
printf("%d\n", 1);
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
inv[i] = 1ll * (p - p / i) * inv[p % i] % p;
printf("%d\n", inv[i]);
factinv[i] = 1ll * factinv[i - 1] * inv[i] % p;
}
return 0;
}
