【线段树】【P5522】[yLOI2019] 棠梨煎雪

C [yLOI2019] 棠梨煎雪

Background

岁岁花藻檐下共将棠梨煎雪

自总角至你我某日辗转天边

天淡天青 宿雨沾襟

一年一会信笺却只见寥寥数言

——银临《棠梨煎雪》

Description

给定 \(m\) 个长度为 \(n\) 的可能含有 的 01 串,其中 ? 既能代表 0 也能代表 1\(q\) 次操作,每次给定一个区间,求有多少 01 串满足区间内的所有字符串都可以解释成该 01 串,或者单点修改某个字符串。

Limitations

qwq

Solution

子任务 \(1\)

输出 \(0\) 即可得分,期望得分 \(5~pts\)

子任务 \(2\)

考虑 \(n\) 只有 \(10\),因此可以 \(O(2^n)\) 去枚举所有可能的串,然后对于每个询问 \(O(m)\) 的逐个判定是否合法。时间复杂度 \(O(qm2^n)\),期望得分 \(10~pts\)

子任务 \(3\)

考虑对于一段所有字符串的第 \(x\) 个字符,一共有四种可能:确定为 \(0\);确定为 \(1\);都可以;都不可以。如果 \(0/1\) 都不可以,则答案为 \(0\),因为不会有任何一个字符串匹配该区间。如果确定为某个数,则这一位只有一种可能;否则这一位有两种可能。根据乘法原理,如果有 \(a\) 个位置有两种可能,则本次询问的答案为 \(2^a\)

因此对于每个询问,\(O(nm)\) 地去遍历区间内所有字符即可。时间复杂度 \(O(nmq)\),期望得分 \(15~pts\)

子任务 \(4\)

考虑 \(n\) 只有 \(30\),可以状压到 int 中。具体的,维护两个 int,第一个 int 维护对应位是否确定是 \(0\)\(1\),第二个 int 维护如果确定是 01 了那么具体是 0 还是 1

例如,对于单个字符串,它所有的为 ? 的位置,在第一个 int 中对应位置是 0,所有为 01 的位置,在第在个 int 中对应的位置是 1,在第二个 int 中对应的位置是自身的值。

考虑 \(a_1,~a_2\) 是询问的左端点到某个字符串之前所维护的两个 int\(b_1,~b_2\) 是该字符串的两个 int,现在合并这两个信息。

如果某一位置即不可以是 \(1\),也不可以是 \(0\),那么该字符串不为 ? 的位置在 \(b_2\) 中对应的值应该至少有一个和 \(a_2\) 中对应位置的值且 \(a_1\) 的该位置为 \(1\),位运算可以表现为 \((a1~\&~b_1)~\&~(a_2~\oplus~b_2) ~\neq 0\),则该询问的答案为 \(0\)

否则这两段信息可以合并:将他们已经确定字符的位置合并起来,然后将确定位置对应的值合并起来即可。于是 \(a_1\)\(b_1\) 取或, \(a_2\)\(b_2\) 取或即可。

最终该询问 \(0/1\) 都可以的位置的个数即为 \(a_1\)\(1\) 的个数。

时间复杂度 \(O(mq)\),期望得分 \(15~pts\)

子任务 \(5\)

由于 \(n\) 只有 \(1\),问题变成了求某个区间内的字符是不是全是 0,全是 1,全是 ?01 都有。可以考虑用线段树非常轻松的维护这样的信息。

时间复杂度 \(O(q \log m)\),期望得分 \(15~pts\)

子任务 \(6\)

世界上没有什么事情是开一棵线段树不能解决的,如果有,那就开 \(30\) 棵。

时间复杂度 \(O(nq \log m)\),期望得分 \(10~pts\)

子任务 \(7\)

考虑结合子任务 \(4\) 和子任务 \(5\) 的做法,发现两个区间的状压信息也可以用子任务 \(4\) 的方法合并。因此用线段树维护这两个 int 的状压信息即可。

时间复杂度 \(O(q \log m)\),期望得分 \(30~pts\)

posted @ 2019-09-02 21:49  一扶苏一  阅读(256)  评论(0编辑  收藏  举报