「高等数学」1.1.2 函数

函数的概念

定义: 设数集 \(D \subset \mathbf{R}\), 则称映射 \(f: D \rightarrow \mathbf{R}\) 为定义在 \(D\) 上的函数, 通常简记为

\[y = f(x), x \in D, \]

其中 \(x\) 称为自变量, \(y\) 成为因变量, \(D\) 称为定义域, 记作 \(D_f\), 即 \(D_f = D\).
函数的定义中, 对于每个 \(x \in D\), 按照法则 \(f\), 总有唯一确定的值 \(y\) 与之对应, 这个值称为函数 \(f\) 在 \(x\) 处的函数值, 记作 \(f(x)\), 即 \(y = f(x)\).因变量 \(y\) 与自变量 \(x\) 之间的这种依赖关系, 通常称为函数关系. 函数值 \(f(x)\) 的全体所构成的集合称为函数 \(f\) 的值域, 记作 \(R_f\) 或 \(f(D)\), 即

\[R_f = f(D) = \{y | y = f(x), x \in D\}. \]

按照定义, 记号 \(f\) 和 \(f(x)\) 的含义是有区别的: 前者表示自变量 \(x\) 和因变量 \(y\) 之间的对应法则, 而后者表示与自变量 \(x\) 对应的函数值.为了叙述方便, 习惯上常用记号 \(f(x), x \in D\) 或 \(y = f(x), x \in D\) 来表示定义在 \(D\) 上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数 \(f\).

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函数的定义域通常按照两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定; 另一种是抽象地用算式表达的函数, 通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的自然定义域.
表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法 (公式法). 其中图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集

\[\{ P(x, y) | y = f(x), x \in D \}. \]

称为函数 \(y = f(x), x \in D\) 的图形.

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函数 \(y = 2\) 的定义域 \(D = (- \infty, + \infty)\), 值域 \(W = \{2 \}\), 他的图像是一条平行于 \(x\) 轴的直线, 如图.

函数

\[y = |x| = \begin{cases} -x, \quad x < 0,\\ x, \quad x \ge 0 \end{cases} \]

的定义域 \(D = (- \infty, + \infty)\), 值域 \(R_f = [0, + \infty)\), 它的图像如图所示, 这个函数称为绝对值函数.

函数

\[y = \operatorname{sgn} x = \begin{cases} -1, \quad x < 0,\\ 0, \quad x = 0,\\ 1, \quad x > 0 \end{cases} \]

称为符号函数, 它的定义域 \(D = (- \infty, + \infty)\), 值域 \(R_f = \{-1, 0, 1\}\), 图像如图所示.对于任何实数 \(x\), 下列关系成立:

\[x = \operatorname{sgn} x \cdot |x|. \]

设 \(x\) 为任一实数, 不超过 \(x\) 的最大整数称为 \(x\) 的整数部分, 记作 \([x]\). 把 \(x\) 看作变量, 则函数

\[y = [x] \]

的定义域 \(D = (- \infty, +\infty)\), 值域 \(R_f = Z\). 图像如图所示, 这个图像称为阶梯曲线. 在 \(x\) 为整数值处, 图形发生跳跃, 跃度为 \(1\). 这个函数称为取整函数.

在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数, 通常称为分段函数.

函数的几种特性

\((1)\) 函数的有界性

设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\), 数集 \(X \subset D\). 如果存在数 \(K_1\), 使得

\[f(x) \le K_1 \]

对任一 \(x \in X\) 都成立, 那么称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有上界, 而 \(K_1\) 称为函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上的一个上界. 如果存在数 \(K_2\), 使得

\[f(x) \ge K_2 \]

对任一 \(x \in X\) 都成立, 那么称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有下界, 而 \(K_2\) 称为函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上的一个下界. 如果存在正数 \(M\), 使得

\[\left |f(x) \right | \le M \]

对任一 \(x \in X\) 都成立, 那么称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有界. 如果这样的 \(M\) 不存在, 就称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上无界.
容易证明, 函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有界的充分必要条件是它在 \(X\) 上既有上界又有下界.

\((2)\) 函数的单调性

设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\), 区间 \(I \subset D\). 如果对于区间 \(I\) 上的任意两点 \(x_1\) 及 \(x_2\), 当 \(x_1 < x_2\) 时, 恒有

\[f(x_1) < f(x_2), \]

那么称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上是单调增加的; 如果对于区间 \(I\) 上任意两点 \(x_1\) 及 \(x_2\), 当 \(x_1 < x_2\) 时, 恒有

\[f(x_1) > f(x_2), \]

那么称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.

\((3)\) 函数的奇偶性

设函数 \(f(x)\) 的定义域 \(D\) 关于原点对称, 如果对于任一 \(x \in D\),

\[f(-x) = f(x) \]

恒成立, 那么称 \(f(x)\) 为偶函数. 如果对于任一 \(x \in D\),

\[f(-x) = -f(x) \]

恒成立, 那么称 \(f(x)\) 为奇函数.
偶函数的图形关于 \(y\) 轴是对称的. 奇函数的图像关于原点是对称的.

\((4)\) 函数的周期性

设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\). 如果存在一个正数 \(l\), 使得对于任一 \(x \in D\) 有 \((x \pm l) \in D\), 且

\[f(x + l) = f(x) \]

恒成立, 那么称 \(f(x)\) 为周期函数, \(l\) 称为 \(f(x)\) 的周期, 通常我们说周期函数的周期是指最小正周期.

反函数和复合函数

若 \(f\) 是定义在 \(D\) 上的单调函数, 则 \(f: D \rightarrow f(D)\) 是单设, 于是 \(f\) 的反函数 \(f^{-1}\) 必定存在, 且 \(F^{-1}\) 是 \(f(D)\) 上的单调函数.

具体为: 任取 \(y_1, y_2 \in f(D)\), 且 \(y_1 < y_2\). \(f(x_1) = y_1, f(x_2) = y_2, (x_1, x_2 \in D)\), 则必有 \(x_1 < x_2\), 即 \(f^{-1}(y_1) < f^{-1}(y_2)\), 即 \(f^{-1}\) 在 \(f(D)\) 上是单调增加的.

相对于反函数 \(y = f^{-1}(x)\) 来说, 原来的函数 \(y = f(x)\) 成为直接函数. 直接函数 \(y = f(x)\) 和它的反函数 \(y = f^{-1}(x)\) 的图像画在坐标平面上, 则图像关于直线 \(y = x\) 对称.

函数 \(g\) 与函数 \(f\) 能构成复合函数 $f\circ g $ 的条件是: 函数 \(g\) 的值域 \(R_g \subset D_f\), 否则不能构成复合函数.

函数的运算

设函数 \(f(x), g(x)\) 的定义域依次为 \(D_f, D_g, D = D_f \cap D_g \ne \varnothing\), 则我们可以定义下列运算:

\[和(差) f \pm g: (f \pm g) (x) = f(x) \pm g(x), x \in D;\\ 积 f \cdot g: (f \cdot g) (x) = f(x) \cdot g(x), x \in D;\\ 商 \dfrac{f}{g}: \left ( \dfrac{f}{g} \right ) (x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}, x \in D \backslash \left \{ x | g(x) = 0, x \in D \right \}. \]

初等函数

基本初等函数:

幂函数: \(y = x^{\mu} (\mu \in \text{R} \ 是常数)\),

指数函数: \(y = a^{x} (a > 0 \ 且 \ a \ne 1)\),

对数函数: \(y = \log_{a}x (a > 0 \ 且 \ a \ne 1, 特别当 a = e 时，记为 y = \ln x)\),

三角函数: \(y = \sin x, y = \cos x, y = \tan x\),

反三角函数: \(y = \arcsin x, y = \arccos x, y = \arctan x\).

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 成为初等函数.

例如: \(y = \sqrt{1 - x^2}, y = \sin ^2 x, y = \sqrt{\cot \dfrac{x}{2}}\).

拓展

双曲正弦: \(\operatorname{sh} x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}\),

双曲余弦: \(\operatorname{ch} x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\),

双曲正切: \(\operatorname{th} x = \dfrac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x} = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\).

紫色实线是 \(y = \operatorname{sh} x\) 的函数图像, 蓝色图像是 \(y = \operatorname{ch} x\) 的函数图像, 黑色实线是 \(y = \operatorname{th} x\) 的函数图像. 当 \(|x|\) 很大时, \(y = \operatorname{sh} x\) 的函数图像在第一象限内接近于曲线 \(y = \dfrac{1}{2}e^x\) (紫色虚线), 在第三象限接近于曲线 \(y = -\dfrac{1}{2} e^{-x}\), \(y = \operatorname{ch} x\) 的函数图像在第一象限内接近 \(y = \dfrac{1}{2} e^x\), 在第二象限内接近于曲线 \(y = \dfrac{1}{2} e^{-x}\) (灰色虚线).

\(y = \operatorname{th} x\) 的函数图像夹在水平直线 \(y = 1\) 及 \(y = -1\) 之间, 当 \(|x|\) 很大时，它的图像在第一象限内接近于直线 \(y = 1\), 而在第三象限内接近于直线 \(y = -1\).

\(y = \operatorname{ch} x\) 经过点 \((0, 1)\).

\[\operatorname{sh} (x + y) = \operatorname{sh} x \operatorname{ch} y + \operatorname{ch} x \operatorname{sh} y,\\ \operatorname{sh} (x - y) = \operatorname{sh} x \operatorname{ch} y - \operatorname{ch} x \operatorname{sh} y,\\ \operatorname{ch} (x + y) = \operatorname{ch} x \operatorname{ch} y + \operatorname{sh} x \operatorname{sh} y,\\ \operatorname{ch} (x - y) = \operatorname{ch} x \operatorname{ch} y - \operatorname{sh} x \operatorname{sh} y. \]

反双曲正弦: \(y = \operatorname{arsh} x = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1})\),

反双曲余弦: \(y = \operatorname{arch} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})\),

反双曲正切: \(y = \operatorname{arth} x = \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{1 + x}{1 - x}\).