「学习笔记」最小表示法
通过这个算法，我认识到了，取模，是一个神奇的东西！还有，暴力出奇迹！
——$\text{yi_fan0305}$的学后感
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定义：最小表示法是用于解决字符串最小表示问题的方法。
（当我第一次学习时，我：？？？？？？，所以，别慌，看不懂定义是正常现象）
前置知识——循环同构
对于字符串 \(S\)，有一个位置 \(i\) ，可以满足
那么我们称 \(S\) 与 \(T\) 循环同构，举个例子，字符串 \(123456789\) 的循环同构有 \(678912345、234567891\) 等等
最小表示
字符串 \(S\) 的最小表示就是与 \(S\) 循环同构的所有字符串中字典序最小的字符串
例如： 字符串 \(987654321\) 的最小表示为 \(198765432\)
最小表示法
最小表示法就是找最小表示问题的算法，你可以发现，这个东西可以打暴力来解决
我们设字符串 \(S\)，\(S\) 的循环同构 \(S1\) 是在 \(S\) 中以 \(i\) 为起点，循环同构 \(S2\) 是在 \(S\) 中以 \(j\) 为起点，已经判断的长度为 \(k\)，如下图
我们一个一个比较，如果两个位置的字符相等，++ k，继续向后搜，如果不相等，比较两个位置的大小，因为我们求的是最小表示，所以我们将大的舍弃，假设 \(S1_{i+ k} > S2_{j + k}\)，那么我们就将 \(S1\) 舍弃，++ i，将下一个循环同构与 \(S2\) 进行比较，\(k\) 再变成 \(0\)，从头开始比较
代码
int min_show() {
int i = 0, j = 1, k = 0;
while (i < n && j < n && k < n) {
if (a[(i + k) % n] == a[(j + k) % n]) {
++ k;
}
else {
if (a[(i + k) % n] > a[(j + k) % n]) {
++ i;
}
else {
++ j;
}
k = 0;
if (i == j) {
++ i;
}
}
}
return min(i, j);
}
这个暴力在一般情况下是可以应付过去的，但在一些特殊数据中，这个暴力会变成 \(O_{n^2}\) 的，如 \(cccccccccccccccc......cccd\) 这样的，所以，我们要优化一下这个暴力
我们假设循环同构 \(S1、S2\) 的前 \(p\) 个字符是相等的，\(S1\) 的起始点为 \(i\)，\(S2\) 的起始点为 \(j\)，那么，当 \(S1_{g + 1} > S2_{g + 1}\) 时，按照暴力的操作，我们要将 \(i\) 加 \(1\)，但是，对于以 \(i + 1\) 为起点的新的循环同构，一定会有以 \(j + 1\) 为起点的循环同构比它更优，这个性质在扩大一点范围，任意以 \(i + p\) 为起点的循环同构，都一定会有一个以 \(j + p\) 为起点的循环同构比它更优，前提 \(p \in [0, k]\)，所以，我们可以将 ++ i 变为 += k + 1，即跳过 \([i, i + k]\) 这一段
优化完后，这个暴力就变成了最小表示法了，看，暴力出奇迹！
代码：
int min_show() {
int i = 0, j = 1, k = 0;
while (i < n && j < n && k < n) {
if (a[(i + k) % n] == a[(j + k) % n]) {
++ k;
}
else {
if (a[(i + k) % n] > a[(j + k) % n]) {
i += (k + 1);
}
else {
j += (k + 1);
}
if (i == j) {
++ i;
}
k = 0;
}
}
return min(i, j);
}
后记
观察这个代码，你会发现一个起始点是 \(0\)，所以你要从 \(0\) 开始输入，但由于我不习惯这种写法，所以就想方设法取模，让这个算法从 \(1\) 开始输入也能找到答案，最后，我失败了，只能说，取模是个神奇的东西
这里给出完整代码，所对应的题目是洛谷的模板题，告诉你个卡常小技巧：取模的速度其实很慢，我们可以将取模改成减法，再配合 #define 宏定义，可以提一下速度（快不了很多），下面的代码中有
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mod(x) (x >= n ? x - n : x)
inline ll read() {
ll x = 0;
int fg = 0;
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') {
fg |= (ch == '-');
ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
return fg ? -x : x;
}
const int N = 3e5 + 5;
int n;
ll a[N];
int min_show() {
int i = 0, j = 1, k = 0;
while (i < n && j < n && k < n) {
int x = i + k, y = j + k;
if (a[mod(x)] == a[mod(y)]) {
++ k;
}
else {
if (a[mod(x)] > a[mod(y)]) {
i += k + 1;
}
else {
j += k + 1;
}
if (i == j) {
++ i;
}
k = 0;
}
}
return min(i, j);
}
int main() {
n = read();
for (int i = 0; i < n; ++ i) {
a[i] = read();
}
int ans = min_show();
for (int i = 0; i < n; ++ i) {
int x = i + ans;
printf("%lld ", a[mod(x)]);
}
return 0;
}
