「学习笔记」欧拉路/欧拉路径

定义

通过图中所有边恰好一次的通路称为欧拉通路。
通过图中所有边恰好一次的回路称为欧拉回路。(回到原点）
很简单对吧？其实这个内容也挺简单的

判断

对于无向图：
如果所有点的度为 \(2\)，那么，存在欧拉回路。
如果有且仅有两个点度数为奇数（不可能只有 \(1\) 个点，不信你自己画画），那么，存在欧拉通路。
对于有向图：
所有点入度=出度：存在欧拉回路
恰有一个点出度-入度= \(1\)（起点）；恰有一个点入度-出度= \(1\)(终点）;其他点入度=出度：存在欧拉通路。

实现

dfs 遍历即可，代码可以参考下面的例题代码
例题：欧拉路径
这道题不仅要判断是否有欧拉路，还要求按照字典序从小到大输出，所以要排序，只能用 vector 存图

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<stack>
typedef long long ll;
using namespace std;
inline ll read()
{
	ll x=0;
	bool fg=false;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		fg|=(ch=='-');
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return fg?~x+1:x;
}
const int N=1e5+5;
vector<int> vec[N];
stack<int> stk;
int n,m,st=1;
int rd[N],cd[N],cnt[2],del[N];
void dfs(int s)
{
	int siz=vec[s].size();
	for(int i=del[s];i<siz;i=del[s])
	{
		del[s]=i+1;
		dfs(vec[s][i]);
	}
	stk.push(s);
}
int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u=read(),v=read();
		vec[u].push_back(v);
		rd[v]++,cd[u]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		sort(vec[i].begin(),vec[i].end());
	bool fg=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(rd[i]!=cd[i])	fg=0;
		if(rd[i]-cd[i]==1)	cnt[1]++;
		if(cd[i]-rd[i]==1)	cnt[0]++,st=i;
	}
	if((!fg)&&!(cnt[0]==cnt[1]&&cnt[0]==1))	return !printf("No\n");
	dfs(st);
	while(!stk.empty())
	{
		printf("%d ",stk.top());
		stk.pop();
	}
	return 0;
}