「学习笔记」快速幂、快速乘与进制转化

快速幂

快速幂算法，可以比 cmath 库中的 pow 函数更快，还可以处理取模。

原理：

通过将指数拆分成几个因数相乘的形式，来简化幂运算。

具体操作：

将指数转化为二进制，如果这一位上是 \(1\)，那就乘上这一位上的信息（即 \(x\) 的几次方，按照二进制的规则来即可）

二进制位数	......	\(4\)	\(3\)	\(2\)	\(1\)
对应的十进制	......	\(x^3\)	\(x^2\)	\(x^1\)	\(x^0\)

模拟一下以便于理解
e.g. 我们算 \(3\) 的 \(10\) 次方，\(10\) 的二进制为 \(1010\)
首先，最后一位为 \(0\)，x = x * x % mod，因为二进制的每向左移一位，就更新为原来的二次方，右移。
现在，最后一位为 \(1\)，那么答案乘上 \(x\) ,更新 \(x\) ，右移。 最后一位为 \(0\)，x = x * x % mod，右移。
最后一位为1，ans = ans * x % mod, x = x * x % mod，右移，没有位数了，退出。
代码:

typedef long long ll;
ll qpow(ll x, ll y, ll mod) {
	ll ans = 1;
	while(y) {
		if (y & 1) {
			ans = 1ll * ans * x % mod;
		}
		y >>= 1;
		x = 1ll * x * x % mod;
	}
	return ans % mod;
}

这里还有一种递归写法。

int qpow(int x, int y, int p) {
    if (y == 0)    return 1;
    int z = qpow(x, y / 2, p);
    z = 1ll * z * z % p;
    if (y & 1) {
        z = 1ll * z * x % p;
    }
    return z;
}

快速乘

它的原理与快速幂类似，只是快速幂是拆成几个数相乘，而快速乘是拆成几个数相加。

int qtimes(int x, int y, int p) {
    if (y == 0)    return 0;
    int z = qtimes(x, y / 2, p);
    z = (z + z) % p;
    if (y & 1) {
        z = (1ll * z + x) % p;
    }
    return z;
}

进制转化

原理

转十进制：
和上面快速幂的乘法操作很类似，就是每一位所代表的数字乘上这一位上的数字
举个例子
\(127(8)\) 转 \(10\) 进制

数位上的数	\(1\)	\(2\)	\(7\)
数位含义	\(8^2\)	\(8\)	\(1\)

\(127(8)\) 的十进制数就是 \(1 \times 8^2+2 \times 8+7 \times 1=87\)
转其他进制：
除法和取余，相信大家都学过，这里操作就是依靠除法和取余来实现的
举个例子
\(87(10)\) 转 \(8\) 进制

\[\begin{aligned} 87 \div 8 = 10&······余7\\ 10 \div 8 = 1&······余2\\ 1 \div 8 = 0&······余1 \end{aligned} \]

将余数从下到上输出就行了
可以看一下这道例题，想知道怎么实现的可以参考以下代码
进制转化
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
typedef long long ll;
using namespace std;
inline ll read()
{
	ll x=0;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')	ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x;
}
ll n,num,m;
int pd(char ch)
{
	if(ch>='A'&&ch<='F')	return ch-55;//字母转数字
	if(ch>='0'&&ch<='9')	return ch-'0';//直接返回数字
	return -1;//不是数字,返回-1
}
inline void re(ll &x)
{
	char ch=getchar();
	if(pd(ch)==-1)	ch=getchar();
	while(~pd(ch))
	{
		x*=n;
		x+=pd(ch);
		ch=getchar();
	}
}
ll pr(ll x)
{
	if(x<10)	return x+'0';
	else	return x-10+'A';
}
void print(ll k)//除,取模,倒叙输出
{
	if(!k)	return;
	print(k/m);
	putchar(pr(k%m));
}
int main()
{
	n=read();
	re(num);
	m=read();
	print(num);
	return 0;
}