【数据结构06】二叉平衡树（AVL树）
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一、平衡二叉树定义
平衡二叉树又称AVL树。它可以是一颗空树，或者具有以下性质的二叉排序树：它的左子树和右子树的高度之差(平衡因子)的绝对值不超过1且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。
从上面简单的定义我们可以得出几个重要的信息：
- 平衡二叉树又称AVL树
- 平衡二叉树必须是二叉排序树
- 每个节点的左子树和右子树的高度差至多为1。
在定义中提到了树的高度和深度，我敢肯定有很多读者一定对树的高度和深度有所误解！最可爱的误解就是树的高度和深度没有区别，认为树的高度就是深度。宜春就忍不了了，必须得哔哔几句...
树的高度和深度本质区别：深度是从根节点数到它的叶节点，高度是从叶节点数到它的根节点。
二叉树的深度是从根节点开始自顶向下逐层累加的；而二叉树高度是从叶节点开始自底向上逐层累加的。虽然树的深度和高度一样，但是具体到树的某个节点，其深度和高度是不一样的。
其次就是对树的高度和深度是从1数起，还是从0数起。当然我也有自己的答案，但是众说纷纭，博主就不说其对与错了，就不多哔哔了。但是我还是比较认同这张图的观点：
可参考：https://www.zhihu.com/question/40286584
二、这货还是不是平衡二叉树？
判断一棵平衡二叉树（AVL树）有如下必要条件：
条件一：必须是二叉搜索树。
条件二：每个节点的左子树和右子树的高度差至多为1。
三、平衡因子
不多哔哔，平衡因子 = 左子树深度/高度 - 右子树深度/高度
对于上图平衡二叉树而言：
5的结点平衡因子就是 3 - 2 = 1；
2的结点平衡因子就是 1 - 2 = -1；
4的结点平衡因子就是 1 - 0 = 1；
6的结点平衡因子就是 0 - 1 = -1；
对于上图非平衡二叉树而言：
3 的结点平衡因子就是 2 - 4 = -2；
1 的结点平衡因子就是 0 - 1 = -1；
4 的结点平衡因子就是 0 - 3 = -3；
5 的结点平衡因子就是 0 - 2 = -2；
6 的结点平衡因子就是 0 - 1 = -1；
特别注意：叶子结点平衡因子都是为 0
四、如何保持平衡二叉树平衡？
由于普通的二叉查找树会容易失去”平衡“，极端情况下，二叉查找树会退化成线性的链表，导致插入和查找的复杂度下降到 O(n) ，所以，这也是平衡二叉树设计的初衷。那么平衡二叉树如何保持”平衡“呢？
不难看出平衡二叉树是一棵高度平衡的二叉查找树。所以，要构建跟维系一棵平衡二叉树就比普通的二叉树要复杂的多。在构建一棵平衡二叉树的过程中，当有新的节点要插入时，检查是否因插入后而破坏了树的平衡，如果是，则需要做旋转去改变树的结构。关于旋转，我相信使用文字描述是很难表达清楚的，还是得靠经典的两个图来理解最好不过了！不要不信噢，当然你可以尝试读下文字描述左旋：
左旋简单来说就是将节点的右支往左拉，右子节点变成父节点，并把晋升之后多余的左子节点出让给降级节点的右子节点。
相信你已经晕了。当然可以试着看看下面的经典动图理解！
左旋：
试着用动态和下面的左旋结果图分析分析，想象一下，估计分分钟明白左旋！！！
//左旋转方法代码
private void leftRotate() {
//创建新的结点，以当前根结点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
newNode.left = left;
//把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树
newNode.right = right.left;
//把当前结点的值替换成右子结点的值
value = right.value;
//把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树
right = right.right;
//把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点
left = newNode;
}
相应的右旋就很好理解了：
反之就是右旋，这里就不再举例了！
小结：当二叉排序树每个节点的左子树和右子树的高度差超过1的时候，就需要通过旋转节点来维持平衡！旋转又分为左旋、右旋、双旋转。
啥？双旋转？是的，顾名思义，在一些添加节点的情况下旋转一次是不能达到平衡的，需要进行第二次旋转，
五、平衡二叉树插入节点的四种情况
当新节点插入后，有可能会有导致树不平衡，而可能出现的情况就有4种，分别称作左左，左右，右左，右右。
而所谓的“左”和“右”无非就是代表新节点所插入的位置是左还是右！
第一个左右代表位于根节点的左或者右，
第二个左右代表位于 【最接近插入节点的拥有两个子节点的父节点】 位置的左或者右
当然针对于第二个左右是我个人的见解，不一定完全正确。有自己想法的读者，欢迎留言指正！
下面以左左为例，分析一波：
其中要特别注意的是：
右右、左左只需要旋转一次就可以平衡。
左右、右左要旋转两次才能把树调整平衡！
其中旋转的条件就是：当二叉排序树每个节点的左子树和右子树的高度差超过1的时候！
六、平衡二叉树操作的代码实现
// 创建AVLTree
class AVLTree {
private Node root;
public Node getRoot() {
return root;
}
// 查找要删除的结点
public Node search(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
return root.search(value);
}
}
// 查找父结点
public Node searchParent(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
return root.searchParent(value);
}
}
// 编写方法:
// 1. 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
// 2. 删除node 为根结点的二叉排序树的最小结点
/**
*
* @param node 传入的结点(当做二叉排序树的根结点)
*
* @return 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
*/
public int delRightTreeMin(Node node) {
Node target = node;
// 循环的查找左子节点，就会找到最小值
while (target.left != null) {
target = target.left;
}
// 这时 target就指向了最小结点
// 删除最小结点
delNode(target.value);
return target.value;
}
// 删除结点
public void delNode(int value) {
if (root == null) {
return;
} else {
// 1.需求先去找到要删除的结点 targetNode
Node targetNode = search(value);
// 如果没有找到要删除的结点
if (targetNode == null) {
return;
}
// 如果我们发现当前这颗二叉排序树只有一个结点
if (root.left == null && root.right == null) {
root = null;
return;
}
// 去找到targetNode的父结点
Node parent = searchParent(value);
// 如果要删除的结点是叶子结点
if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
// 判断targetNode 是父结点的左子结点，还是右子结点
if (parent.left != null && parent.left.value == value) { // 是左子结点
parent.left = null;
} else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {// 是由子结点
parent.right = null;
}
} else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) { // 删除有两颗子树的节点
int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
targetNode.value = minVal;
} else { // 删除只有一颗子树的结点
// 如果要删除的结点有左子结点
if (targetNode.left != null) {
if (parent != null) {
// 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
if (parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.left;
} else { // targetNode 是 parent 的右子结点
parent.right = targetNode.left;
}
} else {
root = targetNode.left;
}
} else { // 如果要删除的结点有右子结点
if (parent != null) {
// 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
if (parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.right;
} else { // 如果 targetNode 是 parent 的右子结点
parent.right = targetNode.right;
}
} else {
root = targetNode.right;
}
}
}
}
}
// 添加结点的方法
public void add(Node node) {
if (root == null) {
root = node;// 如果root为空则直接让root指向node
} else {
root.add(node);
}
}
// 中序遍历
public void infixOrder() {
if (root != null) {
root.infixOrder();
} else {
System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历");
}
}
}
// 创建Node结点
class Node {
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value) {
this.value = value;
}
// 返回左子树的高度
public int leftHeight() {
if (left == null) {
return 0;
}
return left.height();
}
// 返回右子树的高度
public int rightHeight() {
if (right == null) {
return 0;
}
return right.height();
}
// 返回 以该结点为根结点的树的高度
public int height() {
return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;
}
//左旋转方法
private void leftRotate() {
//创建新的结点，以当前根结点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
newNode.left = left;
//把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树
newNode.right = right.left;
//把当前结点的值替换成右子结点的值
value = right.value;
//把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树
right = right.right;
//把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点
left = newNode;
}
//右旋转
private void rightRotate() {
Node newNode = new Node(value);
newNode.right = right;
newNode.left = left.right;
value = left.value;
left = left.left;
right = newNode;
}
// 查找要删除的结点
/**
*
* @param value
* 希望删除的结点的值
* @return 如果找到返回该结点，否则返回null
*/
public Node search(int value) {
if (value == this.value) { // 找到就是该结点
return this;
} else if (value < this.value) {// 如果查找的值小于当前结点，向左子树递归查找
// 如果左子结点为空
if (this.left == null) {
return null;
}
return this.left.search(value);
} else { // 如果查找的值不小于当前结点，向右子树递归查找
if (this.right == null) {
return null;
}
return this.right.search(value);
}
}
// 查找要删除结点的父结点
/**
*
* @param value 要找到的结点的值
*
* @return 返回的是要删除的结点的父结点，如果没有就返回null
*/
public Node searchParent(int value) {
// 如果当前结点就是要删除的结点的父结点，就返回
if ((this.left != null && this.left.value == value) || (this.right != null && this.right.value == value)) {
return this;
} else {
// 如果查找的值小于当前结点的值, 并且当前结点的左子结点不为空
if (value < this.value && this.left != null) {
return this.left.searchParent(value); // 向左子树递归查找
} else if (value >= this.value && this.right != null) {
return this.right.searchParent(value); // 向右子树递归查找
} else {
return null; // 没有找到父结点
}
}
}
@Override
public String toString() {
return "Node [value=" + value + "]";
}
// 添加结点的方法
// 递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求
public void add(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
// 判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系
if (node.value < this.value) {
// 如果当前结点左子结点为null
if (this.left == null) {
this.left = node;
} else {
// 递归的向左子树添加
this.left.add(node);
}
} else { // 添加的结点的值大于 当前结点的值
if (this.right == null) {
this.right = node;
} else {
// 递归的向右子树添加
this.right.add(node);
}
}
//当添加完一个结点后，如果: (右子树的高度-左子树的高度) > 1 , 左旋转
if(rightHeight() - leftHeight() > 1) {
//如果它的右子树的左子树的高度大于它的右子树的右子树的高度
if(right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {
//先对右子结点进行右旋转
right.rightRotate();
//然后在对当前结点进行左旋转
leftRotate(); //左旋转..
} else {
//直接进行左旋转即可
leftRotate();
}
return ; //必须要!!!
}
//当添加完一个结点后，如果 (左子树的高度 - 右子树的高度) > 1, 右旋转
if(leftHeight() - rightHeight() > 1) {
//如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度
if(left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {
//先对当前结点的左结点(左子树)->左旋转
left.leftRotate();
//再对当前结点进行右旋转
rightRotate();
} else {
//直接进行右旋转即可
rightRotate();
}
}
}
// 中序遍历
public void infixOrder() {
if (this.left != null) {
this.left.infixOrder();
}
System.out.println(this);
if (this.right != null) {
this.right.infixOrder();
}
}
}
public class AVLTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = { 14, 21, 7, 3, 8, 9 };//任意测试节点数组
//创建一个 AVLTree对象
AVLTree avlTree = new AVLTree();
//添加结点
for(int i=0; i < arr.length; i++) {
avlTree.add(new Node(arr[i]));
}
//遍历
System.out.println("中序遍历");
avlTree.infixOrder();
System.out.println("平衡处理...");
System.out.println("树的高度=" + avlTree.getRoot().height());
System.out.println("树的左子树高度=" + avlTree.getRoot().leftHeight());
System.out.println("树的右子树高度=" + avlTree.getRoot().rightHeight());
System.out.println("当前的根结点=" + avlTree.getRoot());
}
}
七、AVL树总结
1、平衡二叉树又称AVL树。
2、平衡二叉树查询、插入、删除的时间复杂度都是 O(logN) 。
3、插入节点失去平衡的情况有4种，左左，左右，右左，右右。
4、右右、左左只需要旋转一次就可以平衡，而左右、右左要旋转两次才能把树调整平衡！
5、失去平衡最多也只要旋转2次，所以，调整平衡的过程的时间复杂度为O(1)。
虽然平衡二叉树有效的解决了极端类似蛇皮单链表的情况，但是平衡二叉树也不是完美的，AVL树最大的缺点就是删除节点时有可能因为失衡，导致需要从删除节点的父节点开始，不断的回溯到根节点，如果这棵AVL树很高的话，那中间就要判断很多个节点，效率就显然变的低下！因此我们后面将要学习2-3树以及红-黑树，抽空写喽....
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