P1 方程组的几何解释

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注解：

Row Picture就是行图像的意思。
行图像是两条直线，方程组的解是两条直线的交点（1,2）.
重要的是列图像。

注解：

找到一个线性组合，使得两个列向量的线性组合是另一个向量。

注解：

此图画出了列向量[-1,2]和列向量[2,-1]

注解：

正确的线性组合是：1个[2,-1]和2个[-1,2]

注解：

这样的线性组合就能得到b向量。

注解：

此时，很自然的会思考，那两个列向量的所有的线性组合是什么？

上面是2个方程2个未知数，系数矩阵是2*2的例子，也是就2维平面中的例子，下面看下3个方程3个未知数，系数矩阵是3*3的情况，也即是空间中的情况。

用矩阵表示可以使得方程组看起来更加的简洁。

首先用行作图的方法解方程组。

首先画出方程-x+2y-z=-1在3维空间中所表示的平面。这个平面内点是满足方程-x+2y-z=-1的所有点。

用matlab代码可视化方程组的解（3个平面交于一点的解）：

[x z] = meshgrid([0:0.1:pi]);
y = 2*x;
mesh(x,y,z,'FaceColor','r','EdgeColor','none'); % 绘制曲面 y=2*x
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');alpha(0.5);
x = 2*y - z+1;
hold on;
mesh(x,y,z,'FaceColor','g','EdgeColor','none'); % 绘制曲面 x = 2*y - z+1
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');alpha(0.5);
z = (3*y+4)/4;
mesh(x,y,z,'FaceColor','b','EdgeColor','none'); % 绘制曲面 z=0
alpha(0.5);

下面按照列图像理解方程组的几何意义。

即：对于3个3维列向量而言，什么样的线性组合能够把左边的3个向量组合成右边的那个向量。

注意：

向量组中向量的维数等于方程组的数量。
向量组中向量的维数就是空间的维数。向量是3维的，空间就是3维的。
向量组中列向量的个数等于未知数的个数。
显然，解是[0,0,1].这就是行图像中难以看出的交点。

首先手工解出方程组的解，组合方式是[0,0,1]

利用matlab代码绘制出3个向量：

clear;clc;close all;

O=[0,0,0];

A=[2,-1,0];
B=[-1,2,-3];
C=[0, -1,4];

%A=[4,5,6];
%B=[-10,6,7];
%C=[-1 ,8,0];
scale=1;
%quiver3(A(1),A(2),A(3),B(1)-A(1),B(2)-A(2),B(3)-A(3),scale);%表示以A为起点，由A指向B
text(A(1),A(2),A(3),'A');%在A点附件标注字母A
%axis([-10 4 5 8 0 7]);xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');%规范x,y,z坐标轴刻度范围，及在各自坐标轴上标注字母x,y,z
axis([-1 2 -1 2 -3 4]);xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');%规范x(-10,4),y(5,8),z(0,7)坐标轴刻度范围，及在各自坐标轴上标注字母x,y,z
grid on;%绘网格
hold on;
%quiver3(B(1),B(2),B(3),C(1)-B(1),C(2)-B(2),C(3)-B(3),scale);
text(B(1)-0.3,B(2),B(3),'B');
hold on;
%quiver3(A(1),A(2),A(3),C(1)-A(1),C(2)-A(2),C(3)-A(3),scale);
text(C(1),C(2),C(3)-0.5,'C');

hold on;
text(O(1),O(2),O(3)-0.2,'O');
quiver3(O(1),O(2),O(3),C(1)-O(1),C(2)-O(2),C(3)-O(3),scale);
quiver3(O(1),O(2),O(3),B(1)-O(1),B(2)-O(2),B(3)-O(3),scale);
quiver3(O(1),O(2),O(3),A(1)-O(1),A(2)-O(2),A(3)-O(3),scale);