19. 对偶问题(六)一般线性规划问题的对偶性
在对偶问题构造那一部分,介绍了对每一个约束\(a^T_ix=b_i\), \(a^T_ix\geq b_i\)或\(a_i^Tx\leq b_i\)引入对偶变量\(p_i\),可是对于约束\(x_i\geq 0\)或者\(x_i\leq 0\)却并没有相对应的对偶变量。在这一部分,将考虑更一般的构造方式。
考虑原始问题
其中\(P\)是多面体\(P=\{x\mid Dx\geq d\}\)。记\(p\)为约束\(Ax\geq b\)所对应的对偶变量。而约束\(x\in P\)是形如\(x_i\geq 0\)和\(x_i\leq 0\)的一个一般概括表达,它并没有对偶变量与之对应。
之前,我们定义过对偶问题的目标函数\(g(p)\)为:
而对偶问题为
现在,我们先说明一般问题的弱对偶性。
定理:(弱对偶) 若\(x\)是原问题的可行解(\(Ax\geq b,\,x\in P\)),\(p\)是对偶问题可行解(\(p\geq 0\)),那么\(g(p)\leq c^Tx\)。
证:
由于\(x\)和\(p\)分别为原问题和对偶问题的可行解,因此\(p^T(b-Ax)\leq 0\),这说明
证毕。
类似的,一般问题的强对偶性如下:
定理:(强对偶) 若原问题存在最优解,那么对偶问题也存在最优解且两个问题的最优值相同。
证:
由于\(P=\{x\mid Dx\geq d\}\),因此原问题可写为
并且定理中假设这个问题存在最优解。它的对偶问题是
对于每一个固定的\(p\),\(q\)都是应该使得上面问题最优的那个解,因此这个对偶问题等价于
其中\(f(p)\)是下面这个问题的最优值
如果这个问题不存在可行解,则令\(f(p)=-\infty\)。根据之前的标准型问题的强对偶性,关于上面这个问题,可知(对偶问题得最优值与原问题相同)
那么,最开始的对偶问题将等价于
显然,这跟我们之前定义的对偶问题相同。那么接下来将直接利用之前强对偶定理可得上述得定理。证毕。
注意在这一部分,我们给出了一般形式线性规划问题得对偶性。事实上,我们还可以将它扩展至非线性问题,比如,替换原问题的\(c^Tx\)为一个凸函数\(c(x)\),而多面体\(P\)替换为一个凸集,那么类似的仍然可以定义对偶问题的目标函数为
这说明了强对偶性在一定情况下对这个非线性问题仍然有效。
参考文献: Introduction to Linear Optimization by Dimitris Bertsimas & John N. Tsitsiklis.