19. 对偶问题（六）一般线性规划问题的对偶性

在对偶问题构造那一部分，介绍了对每一个约束\(a^T_ix=b_i\), \(a^T_ix\geq b_i\)或\(a_i^Tx\leq b_i\)引入对偶变量\(p_i\)，可是对于约束\(x_i\geq 0\)或者\(x_i\leq 0\)却并没有相对应的对偶变量。在这一部分，将考虑更一般的构造方式。

考虑原始问题

其中\(P\)是多面体\(P=\{x\mid Dx\geq d\}\)。记\(p\)为约束\(Ax\geq b\)所对应的对偶变量。而约束\(x\in P\)是形如\(x_i\geq 0\)和\(x_i\leq 0\)的一个一般概括表达，它并没有对偶变量与之对应。

之前，我们定义过对偶问题的目标函数\(g(p)\)为：

\[g(p)=\min_{x\in P}\{c^Tx+p^T(b-Ax)\}. \]

而对偶问题为

现在，我们先说明一般问题的弱对偶性。

定理：（弱对偶） 若\(x\)是原问题的可行解（\(Ax\geq b,\,x\in P\)），\(p\)是对偶问题可行解（\(p\geq 0\)），那么\(g(p)\leq c^Tx\)。

证：

由于\(x\)和\(p\)分别为原问题和对偶问题的可行解，因此\(p^T(b-Ax)\leq 0\)，这说明

证毕。

类似的，一般问题的强对偶性如下：

定理：（强对偶） 若原问题存在最优解，那么对偶问题也存在最优解且两个问题的最优值相同。

证：

由于\(P=\{x\mid Dx\geq d\}\)，因此原问题可写为

并且定理中假设这个问题存在最优解。它的对偶问题是

对于每一个固定的\(p\)，\(q\)都是应该使得上面问题最优的那个解，因此这个对偶问题等价于

其中\(f(p)\)是下面这个问题的最优值

如果这个问题不存在可行解，则令\(f(p)=-\infty\)。根据之前的标准型问题的强对偶性，关于上面这个问题，可知（对偶问题得最优值与原问题相同）

\[f(p)=\min_{Dx\geq d}(c^Tx-p^TAx) \]

那么，最开始的对偶问题将等价于

显然，这跟我们之前定义的对偶问题相同。那么接下来将直接利用之前强对偶定理可得上述得定理。证毕。

注意在这一部分，我们给出了一般形式线性规划问题得对偶性。事实上，我们还可以将它扩展至非线性问题，比如，替换原问题的\(c^Tx\)为一个凸函数\(c(x)\)，而多面体\(P\)替换为一个凸集，那么类似的仍然可以定义对偶问题的目标函数为

\[g(p)=\min_{x\in P}\{c(x)+p^T(b-Ax)\}. \]

这说明了强对偶性在一定情况下对这个非线性问题仍然有效。

参考文献: Introduction to Linear Optimization by Dimitris Bertsimas & John N. Tsitsiklis.