线性代数--矩阵乘法

线性代数

打算发一个线性代数的系列文章，一共10篇左右。

矩阵乘法

Suppose：

\[dim(A) = m \times n, dim(B) = n \times p \]

C是矩阵相乘的结果：

\[C= A\times B \]

角度一：定义的角度

\[C_{i,j} = \sum_{k=1}^{n} A_{i,k} \cdot B_{k,j} \]

角度二，列的线性组合
C矩阵的每一列都是A中各列的线性组合，其中线性组合的乘数由B对应列决定；

\[C_{:,j} = \sum_{k=1}^{n} A_{:k} \cdot B_{k,j} \]

角度三，行的线性组合
C矩阵的每一行都是B中各行的线性组合，其中线性组合的乘数由A对应行决定；

\[C_{i,:} = \sum_{k=1}^{n} A_{i,k} \cdot B_{k,:} \]

角度四，矩阵乘以向量的形式
C的每一列可以看做A乘以B的某一列得到

\[C_{:,j} = A \times \cdot B_{:,j} \]

Example：

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 4 & 11 \\ 10 & 25 \end{bmatrix} \]

角度二：

\[\begin{bmatrix} 4 \\ 10 \end{bmatrix} = 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} \]

角度三：

\[\begin{bmatrix} 4 & 11 \end{bmatrix} = 1 \cdot \begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 4 \end{bmatrix} \]

角度四：

\[\begin{bmatrix} 4 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \]