线段树略解（20191028更新）

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线段树
二维线段树

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线段树是提高组非常非常重要的东西，是考纲唯一一个数据结构（树状数组除外），它的重要性不言而喻。本文为备考的我，也为同样备考的你整理了线段树的知识点，力求详细，并将持续更新。如果你有什么好点子，欢迎评论。

线段树

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。
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如上图所示的线段树维护 $[1,10]$ 区间。每个节点上的区间表示该节点维护的区间。

线段树的时间复杂度 $O(\log N)$（建树复杂度为 $O(N)$），空间复杂度 $T(N)$。

单点修改操作

从根节点开始，选择涵盖目标节点的儿子往下跳，直到找到目标节点。修改数值，回溯更新数值。
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如图所示，红色路径是更新 7 号节点的路径图。

区间查询操作

设节点 $x$ 维护的区间是 $[x.l,x.r]$，左儿子、右儿子分别是 $x.ls,x.rs$。

不难发现，当询问区间恰好为 $[x.l,x.r]$ 时，答案即为 $x.d$。

那如果不是呢？使用分治思想，将这个任务传给 $x$ 的两个儿子，再从儿子那里接受答案。重复以上操作，直到询问被回答。

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举个例子。假设我们询问 $[4,9]$ 这个区间。

我们现在在 $[1,10]$，发现这个问题需要左儿子和右儿子一起帮忙才能回答，所以访问两个儿子。

对于 $[1,5]$，发现右儿子就是答案的一部分，返回右儿子的 $d$；
对于 $[6,10]$，左儿子和右儿子一起帮忙；

对于 $[6,8]$，发现该点就是答案的一部分，返回该点的 $d$；
对于 $[9,10]$，发现左儿子是答案的一部分，返回左儿子的 $d$。

这个问题就这样被回答了。

如上图所示，绿色的点表示需要遍历儿子才能回答问题；黄色的节点表示直接返回该点数值；红色边是经过的边。

至此，我们已经学会使用线段树解决 单点修改、区间查询 问题了。

区间修改、单点查询问题

例题 1 您需要写一个数据结构，维护一个序列 $a$，支持以下操作：

将 $a[l],a[l+1],...,a[r]$ 的值加 $d$；
查询 $a[x]$ 的值。

考虑将此类问题转化成我们已经学会的“单点修改、区间查询问题”。

我们发现，给一区间内的所有数加 $d$ 时，区间内相邻两数之差不变。所以区间加一个数等价于 修改边界处的差。

设 $c[i]=a[i]-a[i-1],a[0]=0$，不难发现$$a[x]=\sum_{i=1}^{x}{c[i]}$$

所以，查询一个数 $a[x]$ 就被转化成求 $c$ 数组的前缀和（连续的）。

那如果是区间修改、区间查询呢？

区间修改操作

回顾区间查询的过程。
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总结发现，优化时间复杂度的方法是 不走到叶子节点，在非叶节点结束本次查询。

不妨尝试在区间修改中应用这个策略。与查询类似，我们给每个点设置一个值 $lazy$，表示这个节点维护的区间的每个点共有的数值。比如，给 $[1,10]$ 里的每个数加上 $d$，那么我们可以给 $[1,10]$ 这个点的 $lazy$ 加 $10$。

查询时，如果该节点是绿色的，则将他的 $lazy$ 值下发给他的儿子。就像这样：

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如果该节点是黄色的，直接累加 $lazy$ 对答案的贡献，也就是 $lazy\times(r-l+1)$。

例题与练习

我们已经粗略介绍了线段树的基本操作。下面我们来看几道例题。

例题 2 已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

将某区间每一个数加上 $x$；
求出某区间每一个数的和。

区间修改、区间查询的线段树。

例题 3

一棵树上有 $n$ 个节点，编号分别为 $1$ 到 $n$，每个节点都有一个权值 $w$。

我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作：

I. CHANGE u t ：把结点 $u$ 的权值改为 $t$；
II. QMAX u v：询问从点 $u$ 到点 $v$ 的路径上的节点的最大权值；
III. QSUM u v：询问从点 $u$ 到点 $v$ 的路径上的节点的权值和。

先把这棵树按 $dfs$ 序排列，拍成一个序列。这样，我们便发现：树上两点的路径在序列上是若干段的连续序列。
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使用树链剖分 + 线段树维护即可。

例题 4 请求你维护一个数列，要求提供以下两种操作：

查询当前数列中末尾 $L$ 个数中的最大的数，并输出这个数的值。
将 $n$ 加上 $t$，其中 $t$ 是最近一次查询操作的答案（如果还未执行过查询操作，则 $t=0$)，并将所得结果对一个固定的常数 $D$ 取模，将所得答案插入到数列的末尾。

记录一下现在队列的长度即可。详见这儿。

练习 1 （luogu P1168 中位数）给你 $N$ 个数 $a[1...N]$，求 $a[1...1],a[1...3],a[1...5],...,a[1...N]$ 的中位数。
备注： 用 vector + upper_bound 亦可。

练习 2 （luogu P1382 楼房）$x$ 轴上有 $n$ 个矩形，用三个整数 $h[i],l[i],r[i]$ 来表示第i个矩形：矩形左下角为 $(l[i],0)$，右上角为 $(r[i],h[i])$。在轮廓线长度最小的前提下，从左到右输出轮廓线。

练习 3 （luogu P1442 铁球落地）$n(n≤10^5)$ 个平台上空有一个铁球，球每次落到某个平台上后，游戏者可以选择向左或向右滚，球滚动和落下的速度都是 $1$。由于铁球的质量不太好，每次落下的高度不能超过 $MAX$。设计一种策略，使得球尽快落到地面而不被摔碎。假设地面高度为 $0$，且无限宽。

二维线段树

顾名思义，就是将原本在一位数组上的线段树拓展到二维平面上。先看一道例题。

例题 5 您需要写一种数据结构，维护一个矩阵 $A[1...N][1...M]$，支持以下操作：

1 x_1 y_1 x_2 y_2 d 将子矩阵 $A[x_1][y_1]...A[x_2][y_2]$ 的每个数的值加 $d$；
2 x_1 y_1 x_2 y_2 查询子矩阵 $A[x_1][y_1]...A[x_2][y_2]$ 的每个数的和。

设操作数为 $K$，则有 $1\leq N,M\leq10^4,1\leq K\leq 10^5$。

Solution
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我们以上图为例介绍二维线段树，黄色矩形是查询区间。

一种很显然的想法是，将每行的 $M$ 个数建一棵线段树，然后每行统计答案后相加（此处未画出第 1 行和第 4 行的线段树）：
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不难发现，以此法建好线段树后，每行查询的列数的区间完全一样，而且查询的点在树上的相对位置一一对应：

就像上图一样，每条用绿色线连接的绿色点在树上的相对位置是相同的。