除法分块 luogu2261 (坑)

除法分块

除法分块 是指使用分块计算的方法求$S=\sum^{n}_{i=1}{\lfloor{\frac{k}{i}}\rfloor}$的值。
举个例子。当 $n=20$ 时，有

$i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$…$
$\lfloor\frac{20}{i}\rfloor$	$20$	$10$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$	$2$	$2$	$2$	$1$	$1$	$…$

我们可以把 $\forall i\in[1,n]$ 分成若干块，使得每块的 $\forall i$ 除 $n$ 的值向下取整后相等。
$\therefore S=20+10+6+5+4+3+2\times4+1\times10$。

题目描述 $\text{luogu2261}$

给出正整数 $n$ 和 $k$ 计算 $G(n, k)=k\ \bmod\ 1 + k\ \bmod\ 2 + k\ \bmod\ 3 + \cdots + k\ \bmod\ n$的值。

输入格式

两个整数 $n,k$。

输出格式

答案。

输入样例

10 5

输出样例

29

说明

对于 $30\%$ 的数据，有 $n , k \leq 1000$；
对于 $60\%$ 的数据，有 $n , k \leq 10^6$；
对于 $100\%$ 的数据，有 $n , k \leq 10^9$。

$\text{Solution 2261}$

根据定义，有 $k\mod n=k-n\times\lfloor\frac{k}{n}\rfloor$
依题意得$\begin{aligned} G(n,k)&=\sum_{i=1}^{n}{(k\mod i)}\\ &=\sum_{i=1}^{n}{(k-i\times\lfloor\frac{k}{i}\rfloor)}\\ &=nk-\sum_{i=1}^{n}{(i\times\lfloor\frac{k}{i}\rfloor)} \end{aligned}$

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,k;

int main(){
   scanf("%lld%lld",&n,&k);
   ll ans=n*k,r;
   for(ll l=1;l<=n;l=r+1){
   	if(k/l) r=min(n,k/(k/l));
   	else r=n;
   	ans-=(r-l+1)*(k/l)*(l+r)/2;
   }
   printf("%lld",ans);
}