计算器趣题（二）

上节我们说到，先凑出 $37$，再搞出 $18$，就能搞出 $666$。
那为什么是这两个数呢？

尝试把 $666$ 质因数分解，得到$666=2\times3^2\times37$发现没？最后的答案 $ans=46=(2+3+3+37)+1$！
难道这仅是巧合吗？
我们再举几个例子。
$18=2\times3^2,ans_{18}=2+3+3+1=9$$63=7\times9,ans_{63}=7+9+1=17$$72=2^3\times3^2,ans_{72}=2+2+2+3+3+1=13$现在你信了吧。

今有结论
$\quad$若正整数 $N=p_1p_2...p_c$，其中 $p$ 是素数，则最少需要 $(\sum{p})+1$ 次才能按出 $N$。

证明： 考虑数$n=p_1$显然，我们只有 $1$ 种方案按出 $n$，就是按 $n$ 次 =，GT。

为什么我们没有第二种方案呢？
假设我们有第二种方案按出 $n$，而且它是先按出 $x\ (1<x<n)$，再经过一波操作搞出 $n$。
那么，因为你已经搞出了 $x$，所以接下来的操作中，最小的加数也是 $x$。
换句话说，你没法再加比 $x$ 更小的数了。
所以这样的话，$x$ 必须满足$x\ |\ \gcd(x,n)$即$x\ |\ n$因为 $n$ 是素数，$x<n$，所以 $x=1$，矛盾！

这样我们就证明了，当 $n$ 为素数时，有且只有一种方案，且 $ans=n+1$。


那如果 $n'=p_1p_2$ 呢？

设我们先按出 $x'\ (1<x'<n)$，经过一波操作后得到 $n'$。因为 $n'$ 的因子只有 $1,p_1,p_2,n$，根据上面的证明，有 $x'\in\{p_1,p_2\}$。

当 $x'=p_1$ 时，需要按 $ans_1=p_1+1$ 次（$p_1$ 次 = 和一次 GT）。
这样我们就得到 $1$ 个 $p_1$，而我们的目标是 $p_2$ 个 $p_1$，所以我们还差 $p_2-1$ 个 $p_1$，所以还需按下 $p_2-1$ 个 = 和一个 GT 一共 $ans_2=p_2$ 次。

这样我们就证明了，当 $n'$ 为两素数乘积时，至少需要按下 $(ans=ans_1+ans_2=p_1+p_2+1)$ 次。


那如果 $N=p_1p_2...p_c$ 呢？
同理。设 $N_c=p_1p_2...p_c$。则$N_3=p_1p_2p_3=N_2p_3$按出 $N_2$ 需要 $(p_1+p_2+1)$ 次，我们还差 $p_3-1$ 个 $N_2$。同上理，按出 $N_3$ 需要 $p_1+p_2+p_3+1$ 次。

设按出 $N_a$ 需要 $ans_a$ 次。
因为$N_a=N_{a-1}p_a$所以$ans_a=ans_{a-1}+p_a$易知 $ans_1=p_1+1$，所以$\begin{aligned}ans_c&=ans_{c-1}+p_c\\ &=ans_{c-2}+p_{c-1}+p_c\\ &=...\\ &=ans_1+p_2+...+p_c\\ &=(\sum_{i=1}^{c}p_i)+1 \end{aligned}$
$\text{Q.E.D..}$