组合数及其性质和证明

组合数

从 $n$ 个不同元素中，任取 $m(m≤n)$ 个元素并成一组，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合；从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m≤n)$ 个元素的所有组合的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的 组合数，记作 $C_n^m$。

注意：

1. 线性文本中的 $C(n,m)$ 等价于本文中的 $C_n^m$。
2. 特别地，$\forall n>0$ 有 $C_n^0=1.$

组合数的性质

1. （定义式）$\forall m,n\in \N$ 有 $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$
2. $\forall m,n\in \N^*$ 且 $m\neq n$ 有 $C_n^m=C_n^{n-m}$
   证明： 由 定义式 易得。
3. $\forall m,n\in \N^*$ 有 $C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$
   证明： $\begin{aligned}右边&=\frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}+\frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!}\\ &=\frac{(n-1)!\times m}{m!(n-m)!}+\frac{(n-1)!\times(n-m)}{m!(n-m)!}\\ &=\frac{(n-1)!\times(m+n-m)}{m!(n-m)!}\\ &=\frac{n!}{m!(n-m)!}\\ &=C_n^m.\end{aligned}$
   $\text{Q.E.D..}$

Lucas 定理

Lucas 定理 是用来求 $C_n^m\mod p$， $p$ 是素数的值，$C_N^m\mod p=C_{\frac{n}p}^{\frac{m}p}\times C_{n\mod p}^{m\mod p}\mod p$