bzoj 3994: [SDOI2015]约数个数和

题目描述

给你 $N,M$，求$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}d(ij)$你需要回答 $T$ 个询问。$1\leq N,M,T\leq50\ 000$。

Solution

今有结论$d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[\gcd(x,y)=1]\tag{*}$至于为什么，以后再写。

则 $\begin{aligned}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Md(ij)&=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\sum_{x|i}\sum_{y|j}[\gcd(x,y)=1]\\ &=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d|\gcd(x,y)}\mu(d)\\ &=\sum_{d=1}^{\min(N,M)}(\sum_{d|x}^{x\leq N}\sum_{x|i}^{i\leq N}1)(\sum_{d|y}^{y\leq M}\sum_{y|j}^{j\leq M}1)\\ &=\sum_{d=1}^{\min(N,M)}(\sum_{d|x}^{x\leq N}\lfloor\frac Nx\rfloor)(\sum_{d|y}^{y\leq M}\lfloor\frac My\rfloor)\end{aligned}$
$O(n)$ 预处理后面括号里的内容。