[NOIp2009] luogu P1072 Hankson 的趣味题

把 c 改成 d 下了两个点。

题目描述

已知正整数 $a_0,a_1,b_0,b_1$，设某未知正整数 $x$ 满足：

1. $x$ 和 $a_0$ 的最大公约数是 $a_1$；
2. $x$ 和 $b_0$ 的最小公倍数是 $b_1$。

求满足条件的 $x$ 的个数。

Solution 1

考虑一个式子。$\forall a,b\in\N^*$ 有$a\times b=\gcd(a,b)\times\text{lcm}(a,b)$
枚举 $\gcd(x,b_0)$，算出 $x$，判断 $x$ 是否满足 1. 条件。统计答案，输出。时间复杂度 $O(T\sqrt{b_1}·\lg b_1)$。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define int long long

int T;
int a,b,c,d;

int check(int Gcd){
	int x=d/c*Gcd;
	if(std::__gcd(c,x)!=Gcd) return 0;
	if(std::__gcd(x,a)!=b) return 0;
	return 1;
}
int work(){
	int sum=0;
	for(int i=1;i*i<=d;++i){
		if(d%i) continue;
		sum+=check(i);
		if(i*i!=d) sum+=check(d/i);
	}
	return sum;
}
signed main(){
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);
		printf("%lld\n",work());
	}
}

Solution 2 By @zzlzk

容易想到，$\forall a,b,k\in\N^*$ 有$\gcd(a,b)=k\quad\Leftrightarrow\quad\gcd(\frac ak,\frac bk)=1$
化一下式子，得到
$\begin{cases}\gcd(\frac x{a_1},\frac{a_0}{a_1})=1,\\ \gcd(\frac{b_1}{b_0},\frac{b_1}x)=1.\end{cases}$
枚举 $b_1$ 的因子，判断是不是 $a_1$ 的倍数即可。时间复杂度 $O(T\sqrt{b_1}·\lg b_1)$。

#include<cstdio>
using namespace std;
int gcd(int a,int b) {
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main() {
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        int a0,a1,b0,b1;
        scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
        int p=a0/a1,q=b1/b0,ans=0;
        for(int x=1;x*x<=b1;x++) 
            if(b1%x==0){
                if(x%a1==0&&gcd(x/a1,p)==1&&gcd(q,b1/x)==1) ans++;
                int y=b1/x;//得到另一个因子
                if(x==y) continue; 
                if(y%a1==0&&gcd(y/a1,p)==1&&gcd(q,b1/y)==1) ans++;
            }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}