局部紧空间的基

设$X$是局部紧Hausdorff空间, $\mathscr{O}$是$X$的一个基, $\mathscr{C}$是$\mathscr{O}$中的有紧闭包的集合组成的$\mathscr{O}$的子族. 则$\mathscr{C}$也是$X$的一个基.

证明：
对于任意的$x\in X$, 有紧邻域$U_x$, 于是存在$O\in\mathscr{O}$使得$x\in O\subset U_x$. 因此$\bar{O}$作为$U_x$的闭子集是紧集. 即$O\in\mathscr{C}$. 以上说明对于任意的$x\in X$, 都存在$O\in\mathscr{C}$使得$x\in O$, 所以$\mathscr{C}$也是$X$的一个基.

 

推论：第二可数的局部紧Hausdorff空间都是$\sigma$-紧的.