积分中值定理

设$f:[a,b]\to\mathbf{R}$是区间$[a,b]$上的连续函数，其中$a,b\in\mathbf{R}$且$a<b$.则存在$a<\varepsilon<b$,使得
\begin{equation}
\label{eq:27.20.42}
\int_a^bf(x)dx=f(\varepsilon)(b-a)
\end{equation}

证明:令$F(x)=\int_a^xf(t)dt$.由于$f$在$[a,b]$上连续，因此$F$在$[a,b]$上可导.(根据的是微积分第一基本定理)根据拉格朗日中值定理，
\begin{equation}
\label{eq:27.20.44}
\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\varepsilon)
\end{equation}其中$a<\varepsilon<b$.再一次由微积分第一基本定理可知，
\begin{equation}
\label{eq:27.20.46}
F'(\varepsilon)=f(\varepsilon)
\end{equation}
积分中值定理得证.

 

 

注：积分中值定理可以不像上面的来证，可以仅仅使用连续函数的介值定理搞定.而且用连续函数的介值定理，可以得到加权的积分中值定理.

 

假若$f\in C[a,b]$,$g$在$[a,b]$上黎曼积分存在且$g$在$[a,b]$上不变号.则在$(a,b)$内存在一点$c$使得$$\int_a^bf(x)g(x)dx=f(c)\int_a^bg(x)dx$$