高等代数 北大版 Page 17 推论 证明
如果$f_1(x)|g(x)$,$f_2(x)|g(x)$,且$(f_1(x),f_2(x))=1$,则$f_1(x)f_2(x)|g(x)$.
证明:不妨设$g(x)=f_1(x)k_1(x)$.则$f_2(x)|f_1(x)k_1(x)$.由于$f_1(x)$与$f_{2}(x)$互素，因此$f_2(x)|k_1(x)$(为什么?提示:利用Bezout定理).因此$f_1(x)f_{2}(x)|g(x)$.
如果$f_1(x)|g(x)$,$f_2(x)|g(x)$,且$(f_1(x),f_2(x))=1$,则$f_1(x)f_2(x)|g(x)$.
证明:不妨设$g(x)=f_1(x)k_1(x)$.则$f_2(x)|f_1(x)k_1(x)$.由于$f_1(x)$与$f_{2}(x)$互素，因此$f_2(x)|k_1(x)$(为什么?提示:利用Bezout定理).因此$f_1(x)f_{2}(x)|g(x)$.
