陶哲轩实分析 习题 12.5.4,12.5.5

设 $(\mathbf{R},d)$ 是带有标准度量的实直线,给出一个连续函数 $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ 的例子,使有一个开集 $V\subseteq \mathbf{R}$ 而其象 $f(V):=\{f(x):x\in V\}$ 不是开集.

例子:令 $V=\mathbf{R}$.令 $f(x)=1$.

设 $(\mathbf{R},d)$ 是带有标准度量的实直线,给出一个连续函数 $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ 的例子,使有一个闭集 $F\subseteq \mathbf{R}$ 而其象 $f(F)$ 不是闭集.

例子:令 $F=\mathbf{R}$,令 $f(x)=\arctan x$.