陶哲轩实分析 习题 12.5.8 :度量空间中有界闭集不一定是紧集

设 $(X,d_{l_1})$ 是习题 12.1.15 中的度量空间.对于每个自然数 $n$,设$e^{(n)}=(e_j^{(n)})_{j=1}^{\infty}$ 是 $X$ 的元素,满足:当 $n=j$ 时$e_j^{(n)}:=1$ 而当 $n\neq j$ 时 $e_j^{(n)}:=0$.证明集合$\{e^{(n)}:n\in\mathbf{N}\}$ 是 $X$ 的闭的有界的子集合,但不是紧致的.

\begin{proof}集合 $\{e^{(n)}:n\in\mathbf{N}\}$ 是闭集的证明是简单的,因为该集合里的任意两个不同元素的距离都是2,而且每个元素与自己的距离都是1,实际上类似于离散度量.其实集合 $\{e^{(n)}:n\in\mathbf{N}\}$ 既是开集也是闭集. 至于该集合不是紧的,是因为容易得到存在该集合的一个序列都没有收敛子列(怎么构造?提示:注意到不同元素之间的距离都是2,而且 $\{e^{(n)}:n\in\mathbf{N}\}$ 是无限集). \end{proof}