《算术探索》(高斯) 第一篇(第1-12目) 总结

高斯的名著《算术探索》已经有中文版，由潘承彪和张明尧翻译，哈工大刘培杰工作室出品.可惜太贵,要158.趁着淘宝双十一打折，花了79元买了《算术探索》,快递今天才到.刚看了第一篇(1-12目)，现在把我的感悟记录如下.

 

《算术探索》第一篇是关于“数的同余”.其实数的同余，我们用一个圈来解释就足够了.比方说,如图,

在模9同余的意义下,任意给定的整数都可以看作上图中0,1,2,3,4,5,6,7,8中的唯一一个.怎么解释这个图呢?比方说,我们知道8被9除余8，而9被9除余0是因为上图中的8再顺时针进一步就成了0.再比如,6被9除余6，而12被9除余3是因为在上图数字6的地方再顺时针进6步就达到了3的位置.

 

如果两个整数在上面这个圆里对应一个数字，那么称这两个整数关于模9同余，否则称这两个整数关于模9不同余.

 

第一篇中重要的结果在我眼里只有一个，那就是第7节中的

$$\mbox{若}A\equiv a,B\equiv b,\mbox{则有}AB\equiv ab$$

该结果利用上面的圆，也是很容易证明的(为什么?).利用该结果以及其它显然的结果有限次,可以把同余用进多项式里，这就是第8，9，10，11节所讨论的.第12节是利用同余来判定被各个数所整除的数的规律,以及同余可以用来检验计算正确性.