差商的性质

1.置换不变性:若$(i_0,i_1,\cdots,i_k)$是$0,1,2,\cdots,k$的任一置换，则有

\begin{equation}
f[t_{i_0},t_{i_1},\cdots,t_{i_k}]=f[t_0,t_{1},\cdots,t_{k}]
\end{equation}

证明:我们使用数学归纳法证明.当$k=1$时，命题显然成立.设当$k\leq p$时，命题都成立,则$k=p+1$时，

\begin{equation}\label{eq:2}
f[t_{i_0},t_{i_1},\cdots,t_{i_{p+1}}]=\frac{f[t_{i_0},t_{i_1},\cdots
t_{i_p}]-f[t_{i_1},t_{i_2},\cdots,t_{i_{p+1}}]}{t_{i_0}-t_{i_{p+1}}}
\end{equation}

如果置换发生在$t_{i_0},t_{i_1},\cdots,t_{i_p}$之间，或者是$t_{i_1},t_{i_2},\cdots,t_{i_{p+1}}$之间，将不会对\ref{eq:2}的值产生影响(根据归纳假设).如果置换发生在$t_{i_0}$和$t_{i_{p+1}}$之间，易得也不会对\ref{eq:2}的值产生影响.综上，可得当$k=p+1$时，命题也成立(为什么?).根据数学归纳法，命题成立.

 

 

2.线性性: \begin{align*}
    f[x_0,x_1,\cdots,x_k]=\sum_{j=0}^k \frac{f(x_j)}{\prod_{i\neq
        j;0\leq i\leq k}(x_j-x_i)}
  \end{align*}

证明:我们不准备使用严格的数学归纳法证明,而只是一直做下去，产生一种归纳的感觉.

当$k=1$时，
\begin{align*}
  f[x_0,x_1]=\frac{f(x_0)}{x_0-x_1}+\frac{f(x_1)}{x_1-x_0}
\end{align*}


当$k=2$时，
\begin{align*}
  f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_0,x_1]-f[x_1,x_2]}{x_0-x_2}=\frac{\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}-\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}}{x_0-x_2}=\frac{f(x_0)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+\frac{f(x_1)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}+\frac{f(x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}
\end{align*}

当$k=3$时，
\begin{align*}
  f[x_0,x_1,x_2,x_3]&=\frac{f[x_0,x_1,x_2]-f[x_1,x_2,x_3]}{x_0-x_3}\\&=\frac{[\frac{f(x_0)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+\frac{f(x_1)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}+\frac{f(x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}]-[\frac{f(x_1)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}+\frac{f(x_2)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}+\frac{f(x_3)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}]}{x_0-x_3}\\&=\frac{f(x_0)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}+\frac{f(x_1)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}+\frac{f(x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}+\frac{f(x_3)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}
\end{align*}
……就这样一直下去，易知命题成立.

 

 

3.若函数$f(t)$在$t_1$的邻域内具有直到$n$阶的连续导数，节点$t_1,t_2,\cdots,t_s$两两互异，则

\begin{align*}
f[t_1,\cdots,t_1\mbox{(n+1个
)},t_2,\cdots,t_s]=\frac{1}{n!}\frac{\partial^n}{\partial(t_1^n)}f[t_1,t_2,\cdots,t_s]
\end{align*}

 

证明:这个命题过于普遍，我想仅仅通过不失一般性的特例来满足自己.不妨探索

\begin{align*}
f[t_1,t_2,t_3,t_4]
\end{align*}

在这条式子里，给$t_1$求一次导，会发生什么状况?也就是

\begin{align*}
\lim_{\varepsilon\neq 0;\varepsilon\to 0} \frac{f[t_1+\varepsilon,t_2,t_3,t_4]-f[t_1,t_2,t_3,t_4]}{(t_1+\varepsilon)-t_1}
\end{align*}

根据差商的定义，我们会发现，上式等于

\begin{align*}
f[t_1,t_1,t_2,t_3,t_4]
\end{align*}
现在给
\begin{align*}
f[t_1,t_2,t_3,t_4]
\end{align*}

中的$t_1$求两次导，即，给$f[t_1,t_1,t_2,t_3,t_4]$求一次导，

\begin{align*}
\lim_{\varepsilon\to 0;\varepsilon\neq
0}\frac{f[t_1+\varepsilon,t_1+\varepsilon,t_2,t_3,t_4]-f[t_1,t_1,t_2,t_3,t_4]}{(t_1+\varepsilon)-t_1}~~~~~\mbox{
【1】}
\end{align*}
毫无疑问，我们会使用中间人技巧来处理这种事情.将上面的式子变为

\begin{align*}
\lim_{\varepsilon\neq 0;\varepsilon\to 0} \frac{f[t_1+\varepsilon,t_1+\varepsilon,t_2,t_3,t_4]-f[t_1+\varepsilon,t_1,t_2,t_3,t_4]+f[t_1+\varepsilon,t_1,t_2,t_3,t_4]-f[t_1,t_1,t_2,t_3,t_4]}{t_1+\varepsilon-t_1}
\end{align*}

由于\begin{align*}
\frac{f[t_1+\varepsilon,t_1+\varepsilon,t_2,t_3,t_4]-f[t_1+\varepsilon,t_2,t_3,t_4,t_1]}{(t_1+\varepsilon)-t_1}=f[t_1+\varepsilon,t_1+\varepsilon,t_2,t_3,t_4,t_1]
\end{align*}

\begin{align*}
\frac{ f[t_1+\varepsilon,t_1,t_2,t_3,t_4]-f[t_1,t_2,t_3,t_4,t_1]}{(t_1+\varepsilon)-t_1}=f[t_1+\varepsilon,t_1,t_2,t_3,t_4,t_1]
\end{align*}
可见，【1】式可以变为
\begin{align*}
2f[t_1,t_1,t_1,t_2,t_3,t_4]
\end{align*}

如果我们给$f[t_1,t_2,t_3,t_4]$中的$t_1$求三次导,也就是给
\begin{align*}
2f[t_1,t_1,t_1,t_2,t_3,t_4]
\end{align*}
求一次导.易得会变为
\begin{align*}
6f[t_1,t_1,t_1,t_1,t_2,t_3,t_4]
\end{align*}

……可见，命题是有理由成立的.