整系数多项式的整除平移不变性

我看了一下思矛师范高等专科学校的徐斌发表在高师理科学刊的《整系数多项式的整除平移不变性》.

徐斌对“整除平移不变性定理”的证明有点麻烦.不麻烦证明方法在下面:

 

$f(x)$是整系数多项式，则$k|f(n)$等价于$k|f(n+k)$.

证明:

设
\begin{align*}
f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0
\end{align*}

则
\begin{align*}
f(n+k)=a_m(n+k)^{m}+a_{m-1}(n+k)^{m-1}+\cdots+a_1(n+k)+a_0
\end{align*}

根据同余的性质(什么性质)，我们知道
\begin{align*}
f(n+k)\equiv f(n)\mod k
\end{align*}
完毕.