2025.7.28 - 8.2

Question 1. 「2024 “钉耙编程” Round.1」D. 传送

给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图 \(G\)，第 \(i\) 条边连接 \(u_i,v_i\) 两点，出现在 \([l_i,r_i]\) 时间段内。

总时间段为 \([1,n]\)，对 \(k = 1,2,\cdots, n\) 求点 \(1\) 与点 \(k\) 连通的时间点的总和。

\(n,m\leq 6\times 10^5\)

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容易想到线段树分治+可撤销并查集，问题是如何执行连边时的连通块加。

在并查集的节点上打 tag，返祖链上的差分-前缀和，每次撤回时把 tag 下传即可，保持时间复杂度不变。

时间复杂度为 \(\mathcal{O}(m\log_2^2 n)\)。

Question 2. 「2024 “钉耙编程” Round.1」F. 序列立方

给定一个长度为 \(n\) 的正整数序列 \(A\)，求 \(A\) 中所有非空子序列（不一定连续）的出现次数的立方和。

\(n\leq 250\)

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原问题等价于从 \(A\) 的所有子序列中选择三个相同的子序列的方案数。

设 \(f_{i,j,k}\) 表示以 \((a_i,a_j,a_k)\) 这三个元素结尾的相同子序列组的方案数，则暴力转移为：

\[f_{i,j,k} = \sum_{p < i, q < j, r < k, a_p=a_q=a_r} f_{p,q,r} \]

这个东西可以三维前缀和优化，时间复杂度变为 \(\mathcal{O}(n^3)\)，注意初始化！

Question 3. 「2024 “钉耙编程” Round.1」E. 博弈

Kaho & Suzune 又来玩游戏了，现在有一个小写字母的可重集合 \(S\)，两人分别持初始为空的字符串 \(A,B\)，从 Kaho 开始，每一轮：

• Kaho 从 \(S\) 中等概率选择一个字符，并取出，追加到 \(A\) 的末尾。
• Suzune 从 \(S\) 中等概率选择一个字符，并取出，追加到 \(B\) 的末尾。

若 \(A\) 的字典序严格大于 \(B\)，则 Kaho 胜，求其胜率。

\(T\leq 10^4, |S|\leq 10^7\)

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如果这是概率，那么这个博弈就是皇帝的博弈，实际上就是概率期望题。

假定最终的某种情况的 \(A,B\)，且 Kaho 胜，那么用你的大手换掉 \(A,B\)，发现 Kaho 就失败了，而从最初的情况得到 \((A,B)\) 与 \((B,A)\) 的概率相等。

故 Kaho 与 Suzune 有相同的胜率！

考虑如何计算平局的概率，设 \(O\) 为出现奇数次的字符数量，如果 \(O \ne 0\)，无论怎样都是不可能平局的。

如果 \(O = 0\)，则相当于是一个多重组合的式子，假设 \(s_i\) 即字符 \(i\) 的出现次数，\(m\) 为 \(|S|\)。

\[p =\dfrac{\dbinom{m/2}{s_1/2,s_2/2,\cdots,s_{26}/2}}{\dbinom{m}{s_1,s_2,\cdots,s_{26}}} \]

所有的 \(/2\) 全部为下取整，所以胜率为 \(\frac{1-p}{2}\)。

如果 \(O = 1\)，则需要考虑把出现了奇数次的字符拿出来，这个给 Kaho 用，之后问题规约为 \(O = 0\)，但是此时的平局剩下一个字符，Kaho 拿到字符后字符串变长变为赢家，故此时胜率为 \(\frac{1+p}{2}\)。

时间复杂度主要为 \(\mathcal{O}(|S|)\) 的预处理。

Question 4. 「2024 “钉耙编程” Round.1」J. 众数

给定一长度为 \(n\) 的正整数数列，其中 \(A_i\) 在 \([1,n]\) 中等概率生成，\(q\) 组询问，每一组询问给出区间 \([l,r]\)，询问如下内容：

• 设 \(S = \{\underset{p\leq i\leq q}{\max} A_i \mid l\leq p\leq q\leq r\}\)，求 \(S\) 中的最大的众数。

\(T\leq 3, n,q\leq 2\times 10^5\)

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在等概率生成 \(A\) 的前提下，则答案一定比较大，设 \(K = 50\)，只考虑区间前 \(K\) 大。注意这里是严格的前 \(K\) 大，即出现多次的数只认为是一个。

首先来到问题 1：如何求解区间前 \(K\) 大？。

考虑在线段树的每一个节点上维护这个区间内的前 \(K\) 大，随后合并时归并即可。

接下来是问题 2：如何检查前 \(K\) 大中的每一个数，其作为最大值的区间数量？

考虑用堆维护区间，按照最大值从大到小依次取出每一个区间 \([l,r]\)，找到区间中的最大值 \(v\) 与出现位置 \(p\)，那么 \(v\) 的区间数量增加 \((p-l+1)(r-p+1)\) 个，随后分裂 \([l,r]\) 成 \([l,p), (p,r]\) 再加入堆。

每次 check 的时候，设 check 的值为 \(v\)，取出所有最大值为 \(v\) 的区间计算总区间数量即可。

当然，求区间最大值及其位置用 ST 表，不要用前面那颗线段树，否则会超时，时间复杂度可能是 \(\mathcal{O}(nK\log_2 n)\)。

Question 5. 「2024 “钉耙编程” Round.1」G. 三元环

给出 \(n\) 个二元组 \((f_i,g_i)\)，建立一张有向完全图 \(G\)，对于 \(i,j(i < j)\) 之间的边，若 \(f_i < f_j, g_i < g_j\)，则连边为 \(i\to j\)，否则为 \(j\to i\)。

求 \(G\) 中三元环数量。

\(n\leq 2\times 10^5, f_i,g_i\in [1,n]\)

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由于这是有向完全图，所以任意三个互不相同的点 \(x,y,z\) 之间无非两种情况：

1. 是一个三元环。
2. 存在恰好一个点，该点连向另外两个点（或者是另外两个点都连向它）。

假设点 \(i\) 的入度为 \(I_i\)，那么情况二无非就是枚举这个点 \(u\)，然后选出两个点 \(v,w\)，于是总方案数为

\[\underset{i\in [1,n]}{\sum} \binom{I_i}{2} \]

故答案为

\[\binom{n}{3} - \underset{i\in [1,n]}{\sum} \binom{I_i}{2} \]

考虑如何求 \(I_i\)，分 \(j < i\) 与 \(j > i\) 讨论：

• 当 \(j < i\) 的时候，方向为 \(j\to i\) 当且仅当 \(f_j < f_i, g_j < g_i\)，故需要对 \(i\) 计算这样的 \(j\) 的数量 \(X_i\)，可以 CDQ 分治搞定。
• 当 \(j > i\) 的时候，方向为 \(i\to j\) 当且仅当 \(f_i < f_j, g_i < g_j\)，故需要对 \(i\) 计算这样的 \(j\) 的数量 \(Y_i\)，若需要求 \(j\to i\) 的数量，可以用 \(n-i - Y_i\) 来计算，依旧可以用 CDQ 分治。

于是 \(I_i = X_i + (n - i - Y_i)\)，问题得以解决。

时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\log_2^2 n)\)。

Question 6. 「CCC 2017 S5」地铁交通

给定长度为 \(n\) 的正整数序列 \(A\)，以及 \(m\) 个环，每个环至少包含一个元素，维护以下两种操作共 \(q\) 个：

• 1 l r，表示求 \(A\) 的区间 \([l,r]\) 内的所有元素的和。
• 2 x，找出编号为 \(x\) 的环，设该环所包含的元素的下标从小到大分别为 \(p_1,p_2,\cdots, p_k\)，然后：
  • \(\forall 1\leq i < k\)，将 \(A_{p_{i+1}}\) 赋值为 \(A_{p_i}\)，将 \(A_{p_1}\) 赋值为 \(A_{p_k}\)。
  • 所有赋值操作同时完成。

\(m\leq n\leq 1.5\times 10^5, q\leq 1.5\times 10^5\)

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无脑一点，首先根号分治，对大环与小环分别处理。

对小环，在修改的时候，暴力即可，由于有 \(\mathcal{O}(B)\) 个元素，开一个修改 \(\mathcal{O}(1)\) 查询 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 的分块平衡一下。

对大环，在询问的时候，枚举暴力计算，这里唯一的 \(\log\) 在于求 \([l,r]\) 在环上的覆盖区域，使用离线即可去掉。但是保留也无所谓，跑的也非常快。

具体来说，把所有操作离掉，然后枚举每一个大环，把所有操作和询问拉出来做一遍。

视 \(n,q\) 同阶，则时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n\log_2 n})\) 或 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n})\)。