Interesting Problems

[WC2015] 未来程序

给定 \(10\) 个程序及其输入数据，在本地跑出其对应的输出数据。

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Task 1

执行若干次加法，本质上是乘法，用 __int128 进行即可，或者写个类似快速幂的东西求都可以。

期望运行时间 \(\texttt{1s}\)。

Task 2

执行若干次赋值，注意到每一次循环会重新用 \(a,b,c\) 进行运算得到新的 \(a',b',c'\)，观察得到其矩阵递推式为：

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

矩阵快速幂即可，期望运行时间 \(\texttt{1s}\)。

还是个倒着的杨辉三角。

Task 3

求 \(n\) 以内自然数的 \(0,1,2,3,4\) 次方和，特别的，\(0^0=1\)。

直接套公式即可：

\[f_0(n) = n+1 \]

\[f_1(n) = \dfrac{n(n+1)}{2} \]

\[f_2(n) = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

\[f_3(n) = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4} \]

\[f_4(n) = \dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{5} \]

高精度交给 Python，期望运行时间 \(\texttt{1s}\)。

Task 4

给定一个 01 矩阵，求：

• 有多少个有序坐标二元组，满足两个位置上的值都是 \(1\)。
• 对每个为 \(1\) 的位置求最近的 \(0\) 的位置，距离为曼哈顿距离。

子问题 \(1\)：记 \(x\) 为 \(1\) 的个数，则答案为 \(x(x-1)\)。

子问题 \(2\)：写一个 DP 即可，四个方向都做一遍。

期望运行时间 \(\texttt{1s}\)。

Task 5

给定一个 01 矩阵，求有多少个全 1 的子矩阵。

经典单调栈问题，记以当前点为右下角的矩阵数量。

期望运行时间 \(\texttt{1s}\)。

Task 6

给定 \(a,b,c\)，每次将 \(t\) 改为 \(at^2+b\) 自然溢出后对 \(c\) 取余，求 \(n\) 次操作后的结果。

没什么规律，不妨找循环节，采用 Floyd 判环即可。

期望运行时间 \(\texttt{90s}\)。

Task 7

求解 \(16\times 16\) 的数独。

加两个优化：只尝试填写可填写的数字，优先填写可能性较少的位置。

期望运行时间 \(\texttt{10s}\)。

Task 8

七重循环枚举 \(a,b,c,d,e,f,g\)，对十种不同的偏序关系组计数，答案对质数 \(1234567891\) 取余。

断言答案会是一个关于 \(n\) 的不超过 \(10\) 次的多项式，拉格朗日插值即可。

期望运行时间 \(\texttt{1s}\)。

Task 9

求十个字符串，已知 MD5。

第一问与第二问：只枚举数字，长度限制在 \(6\) 即可。

第三问：找到当年讲课的老师，把名字一个一个试一遍。

第四问：长度限制在 \(3\) 即可。

第五问至第九问：先把长度控制在 \(5\sim 6\) 然后跑。

第十问：不好推，有了解的人就会知道是什么。

名言：We hold these truths to be self-evident. 来源于美国独立宣言。

期望运行时间 \(\texttt{2s}\)。

Task 10

给定大量函数的嵌套关系，求底层程序的执行次数。

发现函数调用呈 DAG 样，写个程序把 DAG 建出来然后简单跑个 DP。

期望运行时间 \(\texttt{1s}\)。

[十二省联考 2019] 骗分过样例

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你的目标是：给定 \(16\) 组输入/输出数据，每个测试点的功能编号给出，写一个程序从对应输入跑出对应输出。

总输出量极大，程序源文件大小 \(\leq 100\text{KiB}\)。

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Ready? Go!

Code: 1_998244353 (12pts)

通过一些小小的观察我们可以大胆猜测，输入 \(x\) 的输出即为 \(19^x \bmod 998244353\)。

输入数据大的时候运用费马小定理，在快读时将 \(x\) 变小即可。

Code: 1? (7pts)

通过一些小小的观察我们依旧可以大胆猜测，输入 \(x\) 的输出即为 \(19^x\) ，但是模数不知道。

再看一眼输出文件，值域都非常小，看了几个都没有大于 \(1140000\) 的，先果断猜一手 \(1145140+x(0\leq x\leq 9)\) 形式的数。

发现 \(1145141\) 就是模数。

其实也可以枚举。

Code: 1?+ (9pts)

通过一些小小的观察我们还是可以大胆猜测，输入 \(x\) 的输出即为 \(19^x\) ，但是模数不知道。

值域比较大，不好处理。

但是离线掉输入文件之后发现有两个询问的很大的 \(x\) 相差为 \(2\)，也就是说答案是 \(361\) 倍，那么模数肯定是 \(361x-y\) 的约数，从大往小枚举判断即可。

Code: 1wa_998244353 (13pts)

通过一些小小的观察我们可以继续大胆猜测，输入 \(x\) 的输出即为 \(19^x\) ，但是溢出了。

经过对快速幂的各种魔改发现，应该不是快速幂形式。

然后再试：发现直接递推答案然后再 int 范围内溢出再模非常合理。

问题是这个不好通项或快速递推，考虑其它方法，一个比较简单的方法是判断循环节，写个程序算一下发现循环节长度不到 \(10^5\)，找循环节然后计算即可。

Code: 2p (18pts)

通过对 p 的分布进行观察，并结合英文术语，猜测是 prime，即 \([l,r]\) 内素数的分布。

Miller-Rabin 模板。

Code: 2u (20pts)

通过对输出的符号 +-0 进行观察，并结合英文术语，猜测是 mu，即 \([l,r]\) 内的 \(\mu\) 函数值。

开始上强度了，我们如何计算 \(\mu\) 呢？

有一个经典问题是求 \([l,r]\) 内的素数 \(r\leq 10^{12}, r-l+1\leq 10^6\)，预处理出 \(\sqrt{r}\) 以内的素数然后埃筛标记。

求 \(\mu\) 函数同理，但是可以做到更高数量级，我们筛出 \(\sqrt[3]{r}\) 以内的素数然后埃筛跑贡献，并将所有数字除去这些素数。

不为 \(1\) 的数字会满足如下形式其一：

• \(p\) 表示是一个素数，这会使得 \(\mu\) 乘上 \(-1\)。
• \(pq\) 表示两个素数的乘积，这不会改变 \(\mu\) 值。
• \(p^2\) 表示一个素数的平方，这会使得 \(\mu\) 变为 \(0\)。

通过 Miller-Rabin 与二分开根，上述三种情况可以判定。

卡常小技巧：

1. 对每个数字除素数时只需要除最多 \(2\) 次。
2. 除去小素数后不为 \(1\) 的只需考虑 \(\mu\ne 0\) 的情况。

Code: 2g (12pts)

观察输入数据以及数感，可以发现是 \([l,r]\) 内 \(p\) 的原根的分布。

当 \(p=998244353\) 时区间都不大，可以用原根判定定理直接判。

当 \(p=13123111\) 时需要通过找最小原根，然后用顶标与 \(\varphi(p)\) 互质的原根幂次生成所有原根。

Code: 2g+ (9pts)

\(p=998244353\) 不再说明，问题是 \(p\) 不知道的怎么办？

猜测 \(p\) 会离 \([10^9,2\times 10^9]\) 的中点比较近，从 \(1.5\times 10^9\) 开始枚举素数 \(p\)，并枚举前 \(20\) 个是否是原根与答案比较即可。

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\(8\) 个 Case 已经全部完成，So congratulate to us.