CF::Gym 100960G - Youngling Tournament
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给定一个数列\(a\)，支持\(q\)次操作：令\(a_x=y\)，并设\(a'\)为\(a\)从大到小排序的结果，查询满足该位置上的数大于等于其后所有数的和的位置数量。
\(n\in\left[1,10^5\right],q\in\left[1,5\times10^4\right],a_i\in\left[1,10^{12}\right]\)。
考虑设\(suM_i\)为\(a'\)在位置\(i\)处的后缀和，那么位置\(i\)满足条件显然当且仅当\(a'_i-suM_{i+1}\geq0\)。不难想到维护\(a'_i-suM_{i+1}\)。
肯定是要按\(a_i\)从大往小排列的。注意到每次修改，可能会让\(a_x\)在\(a'\)中移个位置，而其他元素的相对位置不变。设\(a_x\)本来在\(a'\)中位置为\(p\)，修改完跑到了\(p'\)。那么分\(p<p'\)和\(p\geq p'\)两种情况。这里以前者为例，后者类似。
显然整个\(a'\)序列分成三段：
- \(1\sim p\)，这一段的\(a'_i-suM_{i+1}\)值显然都要加上\(a_x-y\)；
- \(p\sim p'\)，这一段的\(a'_i-suM_{i+1}\)值显然都要加上\(-y\)；
- \(p'\sim n\)，这一段的\(a'_i-suM_{i+1}\)值显然不变。
看到区间增加，不难想到线段树配合懒标记。那么问题来了，维护啥呢？咋查询呢？线段树套平衡树肯定是不行的，因为是区间修改。线段树直接维护也维护不动。考虑让线段树起到剪枝的作用：每个节点维护当前区间的\(a'_i-suM_{i+1}\)最大值（这个显然是懒标记可做的）。查询的时候从根往下走，对于每个儿子，如果它的最大值\(\geq0\)则往下走，否则不往下走（即里面不可能有符合要求的位置）。
这样复杂度是多少呢？注意到一个非常重要的性质：答案是\(\mathrm O(\log v)\)级别的，其中\(v\)是\(a\)的值域大小。证明非常简单，大概就是每有一个答案，后缀和就要增一倍，并且当前位置的数要大于等于后缀和。这样一来，每个符合要求的数就会有一条对应的线段树上的根到叶子的链，多条链的并集是被经过的节点集合，\(\mathrm O(\log n\log v)\)。
考虑到还要插入与删除，想用线段树的话要离线预留好位置，比较烦我懒得写了。其他的方法有：动态开点线段树，\(\mathrm O\!\left(\log^2v\right)\)；平衡树，复杂度不变，分析差不多。我写了后者，使用fhq-Treap。插入删除直接转化成修改，就不需要垃圾桶了。
时间复杂度\(\mathrm O(n\log n+q\log n\log v)\)。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define mp make_pair
#define X first
#define Y second
const int inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
mt19937 rng(20060617);
const int N=100000;
int n,qu;
int a[N+1];
int b[N+1],suM[N+2];
struct fhq_treap{
int sz,root;
struct node{unsigned key;int lson,rson,sz,v,dif,sum,mx,lz;}nd[N+1];
#define key(p) nd[p].key
#define lson(p) nd[p].lson
#define rson(p) nd[p].rson
#define sz(p) nd[p].sz
#define v(p) nd[p].v
#define dif(p) nd[p].dif
#define sum(p) nd[p].sum
#define mx(p) nd[p].mx
#define lz(p) nd[p].lz
int bld(int l=1,int r=n){
int mid=l+r>>1,p=nwnd(b[mid],b[mid]-suM[mid+1]);
if(l<mid)lson(p)=bld(l,mid-1);
if(r>mid)rson(p)=bld(mid+1,r);
return sprup(p),p;
}
void init(){
sz=0;
nd[0]=node({0,0,0,0,0,-inf,0,-inf,0});
root=bld();
}
void sprup(int p){
sum(p)=sum(lson(p))+v(p)+sum(rson(p));
mx(p)=max(mx(lson(p)),max(dif(p),mx(rson(p))));
sz(p)=sz(lson(p))+1+sz(rson(p));
}
void sprdwn(int p){
if(lz(p)){
tag(lson(p),lz(p));tag(rson(p),lz(p));
lz(p)=0;
}
}
void tag(int p,int v){
if(p)dif(p)+=v,mx(p)+=v,lz(p)+=v;
}
pair<int,int> split(int x,int p=-1){~p||(p=root);
if(!x)return mp(0,p);
sprdwn(p);
pair<int,int> sp;
if(x<=sz(lson(p)))return sp=split(x,lson(p)),lson(p)=sp.Y,sprup(p),mp(sp.X,p);
return sp=split(x-1-sz(lson(p)),rson(p)),rson(p)=sp.X,sprup(p),mp(p,sp.Y);
}
int mrg(int p,int q){
if(!p||!q)return p|q;
sprdwn(p);sprdwn(q);
if(key(p)<key(q))return rson(p)=mrg(rson(p),q),sprup(p),p;
return lson(q)=mrg(p,lson(q)),sprup(q),q;
}
int grt(int v,int p=-1){~p||(p=root);
if(!p)return 0;
sprdwn(p);
if(v(p)>v)return sz(lson(p))+1+grt(v,rson(p));
return grt(v,lson(p));
}
int nwnd(int v,int dif){
return nd[++sz]=node({rng(),0,0,1,v,dif,v,dif,0}),sz;
}
void mv_rit(int v1,int v2){
pair<int,int> sp=split(grt(v1)),sp0=split(1,sp.Y),sp1=split(grt(v2,sp0.Y),sp0.Y);
//sp.X,del(sp0.X),sp1.X,insert(v2),sp1.Y
v(sp0.X)=sum(sp0.X)=v2,dif(sp0.X)=mx(sp0.X)=v2-sum(sp1.Y);
tag(sp.X,v1-v2);tag(sp1.X,-v2);
root=mrg(sp.X,mrg(sp1.X,mrg(sp0.X,sp1.Y)));
}
void mv_lft(int v1,int v2){
pair<int,int> sp=split(grt(v2)),sp0=split(grt(v1,sp.Y),sp.Y),sp1=split(1,sp0.Y);
//sp.X,insert(v2),sp0.X,del(sp1.X),sp1.Y
v(sp1.X)=sum(sp1.X)=v2,dif(sp1.X)=mx(sp1.X)=v2-sum(sp0.X)-sum(sp1.Y);
tag(sp.X,v1-v2);tag(sp0.X,v1);
root=mrg(sp.X,mrg(sp1.X,mrg(sp0.X,sp1.Y)));
}
int cnt(int p=-1){~p||(p=root);
if(!p)return 0;
sprdwn(p);
int res=0;
if(dif(p)>=0)res++;
if(mx(lson(p))>=0)res+=cnt(lson(p));
if(mx(rson(p))>=0)res+=cnt(rson(p));
return res;
}
void dfs(int p=-1){~p||(p=root);
if(!p)return;
sprdwn(p);
dfs(lson(p));
cout<<v(p)<<" "<<dif(p)<<"!\n";
dfs(rson(p));
}
}trp;
signed main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",a+i),b[i]=a[i];
sort(b+1,b+n+1,greater<int>());
for(int i=n;i;i--)suM[i]=suM[i+1]+b[i];
trp.init();
// trp.dfs();
cout<<trp.cnt()<<"\n";
cin>>qu;
while(qu--){
int x,y;
scanf("%lld%lld",&x,&y);
// cout<<a[x]<<" "<<y<<"!!\n";
if(a[x]>y)trp.mv_rit(a[x],y);
else trp.mv_lft(a[x],y);
a[x]=y;
// trp.dfs();
printf("%lld\n",trp.cnt());
}
return 0;
}
后来yxh告诉我了另一个神仙方法，是用二进制搞的，代码特别短。当时乍一看是1log的，woc这么强的吗？？？还准备学习一下。现在才发现也是2log的，复杂度跟上述做法一样，就懒得研究了。
总体来说是比较简单的一题。
