题解：P6026 餐馆

P6026 餐馆

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题目背景

小 W 家新开了一家餐馆。

题目描述

这家餐馆提供 \(n\) 种特色菜，它们被标号为 \(1,2,\cdots,n\)。

有一天，餐馆里来了 \(k\) 个客人，他们没有想好要吃什么。于是，小 W 给他们出了个主意：每个人先从 \(1,2,\cdots,n\) 中等概率随机一个数 \(r\)，再从
\(1,2,\cdots,r\) 中等概率随机一个数 \(l\)，这个人就点标号在 \(l\) 和 \(r\) 之间（包括 \(l\) 和 \(r\)）的菜。

于是，客人们按小 W 说的做了。在所有客人都点完单之后，小 W 突然发现：没有两个人都点了相同的一道菜，他每种菜至多做一份就够了！为了证明他是多么的欧皇，他找到了学编程的你，请你帮他计算这种情况发生的概率。

输入格式

两个整数 \(n\) 和 \(k\)，意义如题目描述。

输出格式

一个整数 \(p\)，表示所求概率对 \(10^9+7\) 取模后的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

10 1

输出 #1

1

输入输出样例 #2

输入 #2

2 2

输出 #2

250000002

说明/提示

样例解释：
样例 \(1\) 解释：因为只有一位客人，所以无论如何不会有两个人点同样的菜，故所求概率为 \(1\)。

样例 \(2\) 解释：每位客人只点 \(1\) 号菜的概率为 \(\dfrac12\)，只点 \(2\) 号菜的概率为 \(\dfrac14\)，两个菜都点的概率为 \(\dfrac14\)，两人不点同一道菜即一人只点 \(1\) 号菜，一人只点 \(2\) 号菜，概率为
\(\dfrac14\times\dfrac12+\dfrac12\times\dfrac14=\dfrac14\)，模 \(10^9+7\) 意义下为
\(250000002\)。

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提示：如果你不知道如何对有理数取余，请看 P2613。

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数据范围：
对于 \(10\%\) 的数据， \(k=1\)。
对于另外 \(10\%\) 的数据， \(1\le k\le n\le5\)。
对于另外 \(20\%\) 的数据， \(1\le k\le3\)。
对于另外 \(30\%\) 的数据， \(1\le k\le n\le10^3\)。
对于所有数据， \(1\le k\le n\le 10^8\)。

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题解

前置知识：快速幂，组合数学，有理数取余

题意：

对于一个区间 \([1,n]\)，有 \(k\) 次选择，每次选择区间 \([l,r]\)，其中 \(r\in[1,n],l\in[1,r]\)。求所有选择均无重叠区间的期望。

手玩：

特别的：由鸽笼原理可得，\(n<k\) 的时候怎么选都会至少有一个重复，因此答案为 \(0\)。

我们把 \(k\) 作为分类的标准，可以发现：

• 当 \(k=1\) 时：无论 \(n\) 取多少，答案都是 \(1\)，因为一个区间不存在重合这一说。

• 当 \(k≥2\) 时：因为两次选择分别在 \([1,n]\) 和 \([1,r]\)，因此对于一个 \([l,r]\) 的区间，被选中的概率是 \(\frac{1}{n\times r}\)。既然这样，我们不妨来列一下 \(k=2\) 时所有情况及概率：

选择的数	概率
\(1\)	\(\frac{1}{2}\)
\(2\)	\(\frac{1}{4}\)
\(1,2\)	\(\frac{1}{4}\)

显然，当第一次选择 \(1\) 时，第二次只能选择 \(2\)，反之亦然，而无论哪次都不能选择 \(1,2\)。因此，\(n=2,k=2\) 的时候答案是 \(\frac{1}{2\times4}+\frac{1}{2\times4}=\frac{1}{4}\)。
这样，我们可以手推得到：

概率	\(n=2\)	\(n=3\)	\(n=4\)	\(n=5\)	\(n=6\)
\(k=2\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{3}\)	\(\frac{3}{8}\)	\(\frac{2}{5}\)	\(\frac{5}{12}\)

如果这样不好找规律的话，反约分一下呢？

概率	\(n=2\)	\(n=3\)	\(n=4\)	\(n=5\)	\(n=6\)
\(k=2\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{3}{9}\)	\(\frac{6}{16}\)	\(\frac{10}{25}\)	\(\frac{15}{36}\)

似乎有规律了！但是，先别急着写代码，来试试 \(k=3\) 的情况：

概率	\(n=1\)	\(n=2\)	\(n=3\)	\(n=4\)
\(k=3\)	\(\frac{0}{1}\)	\(\frac{0}{8}\)	\(\frac{1}{27}\)	\(\frac{4}{64}\)

此时，我们可以感性理解一下：
由于要从 \(n\) 个里面取 \(k\) 轮，所以说大概率有一个 \(C_n^k\) 同时观察分母，不难发现是 \(\frac{1}{n^k}\)。那么分子上的

\(1,3,6,10,15\)……

和

\(1,4,10\)……

正好等于 \(C_n^k\)。于是我们就用数学归纳法得到了 \(f(n,k)=\frac{C_n^k}{n^k}\) （其实是蒟蒻不会证喵）

实现：

既然有了公式了，实现就很简单了：
先线性处理 \(n!,k!,(n-k)!\) 以此计算 \(C_n^k\)，然后计算 \(n^k\) 的逆元最后再乘起来就好了~
警示后人：
开 \(long long\)，勤取模！

AC 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,k,kj=1,nkj=1,jc=1,ans;
//kj,nkj,jc分别是k,(n-k),n的阶乘
const int mod=1e9+7;
long long qpow(long long a,long long b,long long mod){
	a%=mod;
	long long ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>k;
	if(n<k){
		cout<<0;
		return 0;
//特判
	}
	for(int i=2;i<=n;i++){
		jc*=i;jc%=mod;
		if(i==k)kj=jc;
		if(i==(n-k))nkj=jc; 
	}
	long long invk=(kj*nkj)%mod;
	invk=qpow(invk,mod-2,mod);
	invk=(invk*jc)%mod;
	if(n==k)invk=1;
	long long invn=qpow(qpow(n,k,mod),mod-2,mod);
	ans=(invk*invn)%mod;
	cout<<ans;
	return 0;//好习惯不能忘
}