笛卡尔树

因为明天要考，而且考得是蓝题，所以我的总结只会在蓝题上面多说几句。

【模板】笛卡尔树

P1310 [NOIP2011 普及组] 表达式的值

这道题目我当时做的很水。

我们要将这个序列转化成一棵算式树，然后我们就能用\(dp[i][0]\)表示计算到i号节点，答案为\(0\)的方法数，\(dp[i][1]\)表示计算到i号节点，答案为\(1\)的方法数。

在树上，当前节点是\(+\)和\(-\)都是有不同计算方式的。

那么时间复杂度就会卡在算式树的转换上面。

其中括号还存在优先级，这个的处理又是很麻烦的。

首先\(+\)最先运算，我们考虑给它一个较小的值，然后利用小根堆的规则建立笛卡尔树。至于为什么是笛卡尔树，一个符号的左右棵子树，刚好可以把原来的算式分成两个区间，进行计算。

如果遇到了\((\)那么\(cnt ++\)，赋予这个括号里面的\(+\) \(cnt \times 2 + 1\)的权值，要乘2的原因是前面的括号里面有两个可能的符号

然后建树的时候不需要括号的参与。这样做就可以了qwq。

Gardener AlexCF1220F

昨天题解区的方法抽象+恶心。初三有两位同学分享了更加简单的方法。其实就是二分找到最优的位置。每一次的check都暴力建树算深度判断。

P6453 [COCI2008-2009#4] PERIODNI

这也是一道蓝题，同样是dp。
\(dp[i][k]\)表示树上直到树上的第i个节点，一共填充了k个后的方案数是多少。

建立一个小根堆的笛卡尔树。每次遍历到下一层节点后，直接减去上面的就可以了。当层剩下的节点就是可以选择的列数，当前节点的siz就是可以选择的行数。假设当前节点一共要选择\(i\)个节点，之前一共选择了\(j\)个节点那么方案数就是\(C(a, z) * C(b - j, z) * A(x)\)就可以了。

里面选择点数有很多边界的判断问题，并不能暴力的从0枚到n。另外为了避免重复的计算，我们的\(dp\)应该从大到小进行更新。

答案是\(dp[stk[1]][k]\)