剑指Offer-14-剪绳子/力扣-343-整数拆分

动态规划

动态规划的思路是什么？

对于一段绳子，第一刀下去可以将绳子分成i和n-i两段，其中i的取值范围为[1,n-1]
dp[n]表示n可分成的最大乘积和，dp[n] = max(dp[n],max(i*n-i,i*f(n-i)))
初始化：全部初始化为1

为什么有两层max()要与一个额外的i-j作比较？因为dp[i-j]代表的是将绳子 break 之后的最大值，缺少一个不 break 的情况

	int cuttingRope(int n) {
		vector<int> dp(n, 1);
		for (int i = 2; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j < (i + 1) / 2; j++) {
				dp[i - 1] = max(max(j * dp[i - j - 1], j + i - j), dp[i - 1]);
			}
		}
		return dp[n - 1];
	}

这里的 dp 数组不能被优化成常数个变量

Ⅱ

和 Ⅰ 有什么区别？多了一步取模运算，Ⅱ 的数据范围更大了，从 58 变成了 1000，不在过程中取模是不可能的了，因为 INT 范围肯定会超，那么就不能用动态规划了，也就是说题目是要求换一种方法求解

贪心

我觉得想出来贪心策略…怎么证明是个数学问题，怎么想出来则是一个玄学问题

力扣的编译器 res 用 int 怎么都会中间计算溢出，所以定义为 long

	int MOD = 1e9 + 7;

	int cuttingRope(int n) {
		// 当 n >= 5 时，尽可能多地去剪长度为 3 的绳段
		// 2->1，3->2，4->4，5->6
		if (n < 4)return n - 1;
		long res = 1;
		while (n >= 5) {
			res = (res * 3) % MOD;
			n -= 3;
		}
		return (res * n) % MOD;
	}