单调栈

单调栈

什么是单调栈

顾名思义，如果栈中元素单调增（或减），则该栈被称为单调栈

如何维护单调栈

以维护一个单调增的栈为例， 插入元素2, 1, 4, 5, 3。

• 插入元素2，此时栈中为空，直接入栈；栈中元素：2。

• 插入元素1，栈顶元素2大于1，先出栈，此时栈中为空，插入1；栈中元素：1。

• 插入元素4，栈顶元素1小于4，插入4；栈中元素：1，4。

• 插入元素5，栈顶元素4小于5，插入5；栈中元素：1，4，5。

• 插入元素3，栈顶元素5大于3，先出栈，此时栈顶元素4大于3，再次出栈，最后栈顶元素1小于3，入栈，栈中元素：1，3。

这样我们就维护了一个单调增的栈了。

核心代码

stack<int>sta;
void insert(x){
    while(!sta.empty() && sta.top() >= x)sta.pop();
    sta.push(x);
}

应用

洛谷 P5788【模板】单调栈

题目大意

给定一个数列\(\,a_{i...n}\)，找到每一个数向右第一个大于它的数的下标，即\(\,a_i<a_j,i<j,\text {求每一个}\,a_i\text{对应的}\text {min}(j)\)，没有则为0。\((1\le n \le 3\times10^6)\)

题目思路

如果我们直接暴力枚举，对每一个数\(\,a_i\,\)往右进行一次查询。这种做法的时间复杂度最坏的情况下是 \(O(n^2)\) 的，这无疑是会TLE的。下面考虑优化。

首先观察一个特殊情况：5，3，3，2，1。显然每个数都没有满足题意的下标，这时如果我们在其右边在插入一个大小为3的数，则可以模拟以下情况：

• 首先1和2小于3，则都有其对应答案。
• 接下来由于原来数列本身是不严格递减的，所以3及以后的数必定大于等于3，所以后面的数依旧没有答案。（这里的不严格递减指的是数列中\(\,a_i\le a_{i+1}, \forall\ i \in[1,n)\) 都成立。
• 因为1和2都有答案了，直接退出数列就好，这时，我们可以得到下一个数列：5，3，3，3。我们可以发现，得到的数列依然是一个不严格递减数列。重复上述步骤便可以得出每一个数答案了

经过上面的模拟过程，相信你应该知道为什么要用单调栈了，我们不妨维护一个不严格递减的单调栈，每次要出栈时记录答案即可，像上面的1和2一样。

这便是单调栈的一个简单应用

代码

#include<cstdio>
#include<stack>

int a[3000005]; //记录答案

int main(void){
    int n;
    std::stack<int>sta; //记录数据大小的栈
    std::stack<int>ind; //记录对应下标的栈
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int key;
        scanf("%d",&key);
        while(!sta.empty()&&sta.top()<key){ //单调栈核心代码
            a[ind.top()]=i; //记录大于该数的下标
            sta.pop();
            ind.pop();
        }
    sta.push(key);
    ind.push(i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",a[i]);
    return 0;
}