关于乘法逆元

\[\text{乘法逆元} \]

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定义：

这是来自大佬博客的：
对于缩系中的元素，每个数\(a\)均有唯一的与之对应的乘法逆元\(x\)，使得\(ax \equiv 1 (mod \ n)\)，一个数有逆元的充分必要条件是\(gcd(a,n)=1\)，此时逆元唯一存在

求逆元的几种方法

1.扩展欧几里得算法

设\(a\)的逆元是\(x\) ，\(x\)满足\(ax\equiv1\)，因为除法的实质是减法所以，方程也可以写为\(ax-my=1\)，求得一组解之后判断\(gcd(x,y)\)是否是一，如果不是则说明不是，因为我们用\(exgcd\)求得就是一组最小解了。如果是，则需调整\(x\)到相应范围\((0到m-1)\)
Code：

int exgcd(int a, int b, int & x, int & y) {
	if(!b) {x = 1, y = 0; return;}
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}
int inv(int a, int n) {
	int x, y;
	int d = exgcd(a, n, x, y);
	return d == 1 ? (x + n) % n : -1;
}

费马小定理:

是欧拉定理的一种特殊情况
\(a^{p-1}\equiv1(mod \ p)\)
\(a^{p-2}\equiv a^{-1}(mod \ p)\)
除以一个数等于乘上这个数的逆元
除以一个数等于乘他的倒数，而此时的指数为\(-1\)正好就是他的倒数，也就是他的逆元
需要检验求出的幂值\(x\)与\(a\)相乘是否为\(1\)
Code：

int power(int x, int y) {
	int sum = 1;
	while(y) {
		if(y & 1) sum = (sum * x) % md;
		x = (x * x) % md;
		y >>= 1;
	}
	return sum;
}

补充一下：

有一个定西叫做求逆元一般公式
\(x=a/b \ mod \ m = x \ mod \ (m *b)/b\)

简单证明：

\(\frac{a}{b} mod \ k = d\)
\(\frac{a}{b}= kx+d\)
\(a=kbx+bd\)
\(a \ mod \ kb=bd\)
\(\frac{a \ mod \ kb}{b}=d\)

因为这个式子里有\(k*b\)需要注意一下他俩很大的时候

还是费马小比较的好写qwq

谢谢收看，住身体健康！