关于排列组合

排列：

从\(n\)个人中选出\(m\)个人来排队，他的做法是\(A_{n}^{m}\)
第一个位置可以放\(n\)个中的一个，第二个位置可以放\(n-1\)个中的一个......第\(m\)的位置可以放\(n-m+1\)个中的一个
所以可得：\(A_{n}^{m}=\frac{n!}{n-m!}\)

组合：

上面的问题我们可以分两步来看
1.选出\(m\)个人
2.这\(m\)个人排队
所以\(A_{n}^{m}=X*A_{m}^{m}\)
这个X就是从\(n\)个人中选出\(m\)个人来的方案数
所以\(X=C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)

组合数的性质最常见的两个是
\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\)
\(C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1}\)

区别：

排列是有序的就是说方案\(2,1,4\)和\(1,4,2\)是不同的
而组合是无序的即方案\(1,2,4\)和方案\(4,2,1\)是相同的

例：

求\(1*2*3+2*3*4+......+8*9*10\)

我们首先观察一下，我们的排列公式\(A_{n}^{m}\)就是从\(n\)开始往前乘\(m\)个数所以我们可以得到在第一个加号之前的乘法的答案其实就是\(A_{3}^{3}\)同理我们可以得到第二个加号之前的是\(A_{4}^{3}\).....一直可以算到最后一个加号之后是\(A_{10}^{3}\)
根据我们推倒组合数的式子我们可以把\(A_3^3\)转化成\(C_3^3A_3^3\)同理后边的也全部可以转换
我们再把\(A_3^3\)提出括号里就是\(C_3^3+C_4^3+......+C_{10}^3\)
根据组合数的第二个性质我们可以合并前两项因为我们知道\(C_3^3==C_4^4\)所以直接换下来前两项就变成了\(C_5^4\)他又可以与后边的\(C_5^3\)合并一直合并直到最后是\(A_3^3C_{11}^4\)
再根据定义什么的算出来就好了

谢谢收看，祝身体健康！