B树和B+树

B树

B树定义

B 树又叫平衡多路查找树。一棵m阶的B 树 (m叉树)的特性如下：

• B树中所有节点的孩子节点数中的最大值称为B树的阶，记为M（重点）
• 树中的每个节点至多有M棵子树 ---即：如果定了M，则这个B树中任何节点的子节点数量都不能超过M
• 若根节点不是终端节点，则至少有两棵子树
• 除根节点和叶节点外，所有点至少有m/2棵子树（上溢）
• 所有的叶子结点都位于同一层。（比如上面的图片中我没有了11 13 15，那么我12就没有存在的意义了，就需要调整整个树的布局）

比如m阶B树，

所有的结点的分支都不得超过m，每个结点内的元素按顺序排列；

根节点至少1个元素，2个分支；最多m-1个元素，m个分支；

中间节点，则至少m/2（向上取整）个分支，元素个数为分支个数-1；

所有的叶子结点都位于同一层。

B树插入

针对m阶高度h的B树，插入一个元素时，首先在B树中是否存在，如果不存在，即在叶子结点处结束，然后在叶子结点中插入该新的元素。

• 若该节点元素个数小于m-1，直接插入；
• 若该节点元素个数等于m-1，引起节点分裂；以该节点中间元素为分界，取中间元素（偶数个数，中间两个随机选取）插入到父节点中；
• 重复上面动作，直到所有节点符合B树的规则；最坏的情况一直分裂到根节点，生成新的根节点，高度增加1；

B树删除

• 某结点中元素数目小于（m/2）-1,，则需要看其某相邻兄弟结点是否丰满；
• 如果丰满（结点中元素个数大于(m/2)-1），则向父节点借一个元素，父节点再向丰满的子节点借一个元素来满足条件；
• 如果其相邻兄弟都不丰满，即其结点数目等于(m/2)-1，则该结点与其相邻的某一兄弟结点进行“合并”成一个结点；

B+树

B+树的特征

• 有m个子树的中间节点包含有m个元素（B树中是k-1个元素），每个元素不保存数据，只用来索引；
• 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)；
• 所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)；

为什么说B+树比B树更适合数据库索引？

1）B+树的磁盘读写代价更低

　　B+树的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B 树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了；

2）B+树查询效率更加稳定

　　由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当；

3）B+树便于范围查询（最重要的原因，范围查找是数据库的常态）

　　B树在提高了IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题，正是为了解决这个问题，B+树应用而生。B+树只需要去遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作或者说效率太低；不懂可以看看这篇解读-》范围查找

补充：B树的范围查找用的是中序遍历，而B+树用的是在链表上遍历；