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l         并查集：(union-find sets)

一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。

l         并查集的精髓（即它的三种操作，结合实现代码模板进行理解）：

1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。

2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合

查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

合并两个不相交集合操作很简单：
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图


l         并查集的优化

1、Find_Set(x)时 路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？
答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。

2、Union(x,y)时 按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。


 

 

 

//每一个集合都是一棵树，集合的元素则为树的节点，每棵树都有一个独一无二的标志，那、、//就是树的根节点

//一般的标志是自己本身的下标 或者 为-1

 

int father[MAX];  //father[x]表示x的父节点

int sign[MAX];    //sign[x] 用来记录查找根节点时，途中所路过的节点，压缩路径的时候用到

int rank[MAX]     //rank[x]  表示x节点所在树的深度

 

 

//初始化集合

 

void Make_Set(int x)

{

         father[x] = x;    //初始化一开始每个节点的父节点都为本身

         rank[x] = 0;      //初始化一开始每棵树的深度为

}

 

// 寻找x元素所在的集合也就是找子节点的根节点（树,若采用递归查找，回溯时压缩路径

 

int Find_Set(int x)

{

         if(father[x] != x)

         {

                  father[x] = Find_Set(father[x]); //这是一个递归的过程，回溯时压缩路径

         }

         return father[x];

}

 

        

 

 

void Union(int x,int y)    //合并两个不相交的集合，x,y分别为两个不同的集合

{

         x = Find_Set(x);

         y = Find_Set(y);

         if(x == y)  return ;    //若为同一集合，则直接返回

         if(rank[x] > rank[y])   //如果x树的深度比y树深，y树接到x树

         {

                  father[y] = x;

         }

         else if(rank[x] < rank[y])

         {

                  father[x] = y;

         }

         else if(rank[x] ==rank[y])  //若两树的深度一样

         {

                  father[x] = y;           //则x树接到y树

                  rank[y]++;              //此时y树的深度+1

         }

}


#include <iostream>
using namespace std;

#define Max 65535
int a[100][100];

/************************************************************************/
/*利用Prim算法求一个无向连通图的最小生成树，
从顶点iBegin开始构造。*/
/************************************************************************/
int Prim(int closedge[], int n, int iBegin)
{
    int i = 0;
    int j = 0;
    int iMin = 65535;
    int iSumCost = 0;
    int iCount = 0;
    int t = 0;
    //初始化辅助数组。
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        closedge[i] = 0;
    }
    closedge[iBegin] = 1;
    //找到构成最小生成树的n-1条边，并记录下它们的代价和。
    while (iCount < n-1)
    {
        iMin = 65535;
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            if (closedge[i] == 1)
            {
                for (j = 0; j < n; j++)
                {
                    if (i != j && a[i][j] < iMin && closedge[j] == 0)
                    {
                        iMin = a[i][j];
                        t = j; //记录下该顶点。
                    }
                }
            }
        }
        iSumCost += iMin;
        closedge[t] = 1; //将该顶点加入到已形成的集合中。
        iCount++;
    }
    return iSumCost;
}

int main()
{
    int i = 0;
    int j = 0;
    int k = 0;
    int iCost = 0;
    int n = 0;
    int iVexNum = 0;    
    int closedge[100];
    int iSumCost = 0;
    //初始化邻接矩阵。
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        for (j = 0; j < n; j++)
        {
            a[i][j] = Max;
        }
    }
    //cout<<"Please input the n:"<<endl;
    while(cin>>n && n)
    {
        iVexNum = n;
        for (k = 0; k < n*(n-1)/2; k++)
        {
            scanf( "%d%d%d" , &i , &j , &iCost );
            //cin>>i>>j>>iCost;
            a[i-1][j-1] = a[j-1][i-1] = iCost;
        }
        iSumCost = Prim(closedge, iVexNum, 0 );
        //cout<<"The minimum cost is:"<<endl;
        cout<<iSumCost<<endl;
    }
    /*system("pause");*/
    return 0;
}




//kruskal
#include <iostream>
#include <algorithm>
const int M=501;
using namespace std;
int n;
int ct=0;
int pre[M];
int graph[M][M];
struct edge
{
    int u,v; //首末结点
    int d;   //边的费用
}e[125001];
bool comp(const edge &a,const edge &b)
{
    return a.d<b.d;
}
int findanc(int x) //找祖先
{
    while(x!=pre[x])
        x=pre[x];
    return x;
}
int kruskal()
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) //结点个数
        pre[i]=i;
    sort(e,e+ct,comp);  //ct是边的个数
    for(int i=0;i<ct;i++)
    {
        int f1=findanc(e[i].u); 
        int f2=findanc(e[i].v);
        if(f1!=f2)   //如果首末两端的祖先不同，也就说明一条边在s中一条边在v-s中
        {
            ans+=e[i].d;
            pre[f1]=f2;    //把u的祖先设为v，这样就把那个结点加入s中了
        }
    }
    return ans;
}





//prim
#include <iostream>
#include <algorithm>
const int max_vertexes=501;
using namespace std;
int graph[max_vertexes][max_vertexes];
int n;
void prim(int vcount)//传入邻接矩阵大小
{
    int i,j,k,sum,father[500],min,max=0;
    int lowcost[max_vertexes],closeset[max_vertexes],used[max_vertexes];
    for (i=0;i<vcount;i++)
    {
        lowcost[i]=graph[0][i];//保存到达任何节点的最短路径
        closeset[i]=0;    //最近的节点
        used[i]=0;//保存使用过的顶点
        father[i]=-1;//父节点
    }
    used[0]=1;
    j=0;
    sum=0;
    for (i=1;i<vcount;i++)
    {
        min=100000;
        for (k=0;k<vcount;k++) 
        {
            if ((used[k]==0)&&(lowcost[k]!=0)&&(min>lowcost[k]))
            {//没被用过，通路，是最短通路

                j=k;//如果k没被使用过 且 最短 让j=k
                min=lowcost[j];
            }
        }
        if (lowcost[j]>max) max=lowcost[j];
        sum+=lowcost[j];
        father[j]=closeset[j];//连到最小生成树上
        used[j]=1;//第j个被用过
        //完成一个节点

        for (k=0;k<vcount;k++)//开始以j节点为开始，找最短路径
        {
            if (used[k]==0&&(graph[j][k]!=0))
            {//没用过，是通路
                if (lowcost[k]==0||(graph[j][k]<lowcost[k]))//k没被设置最小通路 或者 是连到下个节点的最短路径 
                {//lowcost是0的时候没考虑很可怕！！！！！
                    lowcost[k]=graph[j][k];//更新最近的节点
                    closeset[k]=j;//新更新的节点的父亲是j
                }
            }
        }
    }
    for (j=0;j<vcount;j++) cout<<father[j]<<endl;//父节点
    cout<<sum<<endl;//总长度
    cout<<max<<endl;//最长边
}