辛普森自适应积分法

辛普森积分法

设f(x)是关于x的二次函数，我们假设f(x)=Ax^2+Bx+C，那么我们有

$$
\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x=\frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]
$$

$\mathscr{Proof:}$

$$
\begin{equation}\int_a^{b}f(x){\rm d}x=\int_a^{b}(Ax^2+Bx+C){\rm d}x\\ = \frac{A}{3}(b^3-a^3)+\frac{B}{2}(b^2-a^2)+C(b-a)\end{equation}
$$

注意到

$$
b^3-a^3=(b-a)(a^2+ab+b^2)\\b^2-a^2=(a+b)(a-b)
$$

化简可得

$$
\frac{A}{3}(b^3-a^3)+\frac{B}{2}(b^2-a^2)+C(b-a)=\frac{b-a}{6}(f(a)+f(b)+4f(\frac{a+b}{2}))
$$