[dmy671]

#671. 优美！最长上升子序列

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多组数据。

每组将给定一个数组。派派希望从中选择一个递增的子序列，越长越好。

但派派认为，这样选出来的子序列依然不够「优美」，形式化的讲，派派希望选择的下标（从 $1$ 开始）需要满足 $$ 𝑖_1∣𝑖_2∣𝑖_3∣⋯∣𝑖_𝑘 $$ 其中 $𝑎|𝑏$ 表示整除， 即 $𝑎$ 是 $𝑏$ 的约数。

请你帮助派派完成任务吧！

注：子序列的含义不再赘述。

输入格式

第一行一个整数 $𝑇$，表示接下来有 $𝑇$ 组数据。

每组数据包含两行，第一行包含一个整数 $N$。

随后一行，包含 $𝑁$ 个整数，表示原数组 $\{𝐴\}$。

输出格式

对于每组数据，输出一行，包含一个数，表示能选出的「优美」的最长上升子序列长度。

数据规模

• $1≤𝑇≤100$
• $1≤𝑁≤10^6$，但保证 $\sum\limits_{𝑖=1}^𝑇𝑁_𝑖≤10^6$
• $1≤𝐴_𝑖≤10^9$

样例输入

4
4
1 4 6 7
2
2 2
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
10 9 8 6 5 2 3 1 2 1

样例输出

3
1
4
1

解释：

对于第一组数据，能选择的「优美」最长上升子序列为 $\{𝐴_1,𝐴_2,𝐴_4\}=\{1,4,7\}$。

对于第三组数组，选择 $\{𝐴_1,𝐴_2,𝐴_4,𝐴_8\}=\{1,2,4,8\}$。

对于第四组数据，可选择的「优美」最长上升子序列长度为 $1$。

题目解析

• 设 $dp[i]$ 为以下标 $i$ 结尾的「优美」的最长上升子序列的长度.
• 对于第 $i$ 个数 $A_i$ 来说，若存在其后的某个下标 $j$，满足 $i \mid j$ 和 $A_j>A_i$（即序列后面有一个数 $A_j$，可以接在以下标 $i$ 结尾的「优美」的上升子序列的后面），则有状态转移方程： $$ dp[j]=\max(dp[j],dp[i]+1) $$
• $j$ 必须为 $i$ 的倍数，故可以通过循环遍历它.
• 最初状态有 $dp[i]=1,\; 1\leqslant i \leqslant N$.
• 时间复杂度为 $O(\frac{N}{1}+\frac{N}{2}+\frac{N}{3}+\cdots+\frac{N}{N})\approx O(n\log n)$.

即 $i$ 的倍数在$1\sim N$中有 $\frac{N}{i}$ 个.

代码展示

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int a[N],dp[N];
void solve(){
    int n,ans=0; scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        dp[i]=1;
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        ans=max(ans,dp[i]);
        for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
            if(a[j]>a[i]) dp[j]=max(dp[j],dp[i]+1);
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main(){
    int T; scanf("%d",&T); while(T--) solve();
    return 0;
}