[学习笔记] 斯特林数[待续]

斯特林数

第二类斯特林数

我们记 \(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\)或者\(S(n,k)\)为\(n\)个两两不同的元素，划分为\(k\)个两两不同的非空子集的方案数.

递推式

根据定义，我们很容易可以得到一个递推式

\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix} \]

其中，递推边界是

\[\begin{Bmatrix}n\\0\end{Bmatrix}=[n=1] \]

证明

考虑用它的组合意义来证明。在放入一个新的元素时，有两种情况

• 将新的元素放入原有的\(k\)个集合中，方案数\(k\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}\)

• 将新的元素放入一个新的集合，方案数\(\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}\)

所以，根据加法原理，我们可以得到上述结论.

一些性质

性质一

\[m^n=\sum_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}\times i!\times\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}=\sum_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}m^{\underline i}\tag 1 \]

这里，我们给出上升幂和下降幂的定义:

我们记\(x\)的\(n\)阶上升幂\(x^{\overline n}\)表示

\[x^{\overline n}=\prod_{i=0}^{n-1}x+i \]

\(x\)的\(n\)阶下降幂表示

\[x^{\underline n}=\prod_{i=0}^{n}x-i \]

我们考虑计算(1)式，首先\(m^n\)可以表示将\(n\)个元素放入\(m\)个集合的方案数，并且允许存在空集\(\emptyset\).

通项公式

我们先给出它的通项公式，随后证明

\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^{m-i}i^n}{i!(m-i)!} \]

考虑容斥，我们记将\(n\)个元素放入\(k\)个集合中（允许\(\emptyset\)存在）的方案数为\(G_i\),将\(n\)个两两不同的元素，划分到\(k\)个两两不同的非空集合（不允许空集）的方案数为\(F_i\).