[学习笔记] tarjan

强连通分量学习笔记

一些定义

有向图DFS生成树有且仅有一下四类边：

• 树边tree edge：在上图中是黑色的边，每次搜索还没有访问过的结点时经过的边即为树边.
• 回边back edge：在上图中为红色(\(7\rightarrow1\))，即指向搜索树中指向已经访问过的结点的边
• 兄弟边brother edge：指向已经访问过，但不是祖先的结点，在上图中为蓝色(\(9\rightarrow7\))
• 前向边forward edge：不是树边，回边，兄弟边的边(\(3\rightarrow6\))

一个小性质

如果结点\(u\)是极大强连通子图\(G'\)在DFS搜索树上第一个搜到的结点，那么\(G'\)的其他节点一定在以\(u\)为根的子树中，我们称结点\(u\)为强连通分量\(G'\)的根.

简单证明一下上面这个结论，考虑反证法. 若\(u\)的子树的结点集合为\(T\)，假设\(\exist v\in G'v, s.t.v\notin T\),则\(u\rightarrow v\)的路径中，必然存在一条边直线\(u\)的祖先或者其他子树，也就是说这条边必然是回边或者兄弟边，那么\(v\)一定比\(u\)先访问到，这与假设矛盾，所以原命题成立.

Tarjan算法求强连通分量

我们维护下面两个变量

• \(dfn_u\)：进行DFS深度优先遍历时\(u\)是第几个被遍历到的
• \(low_u\)：能回溯到的最早的已经在搜索栈的结点. 具体地说，\(low_u\)定义为以下结点中\(dfn\)的最小值
• 1. 以\(u\)为根的子树中的结点
  2. 通过以\(u\)为根的子树能够通过非树边到达的所有结点

按照深度优先搜索的顺序DFS序，对于一条边\(u\rightarrow v\)，我们分以下情况讨论

• 树边：继续遍历\(v\)的子树，并\(low_u\leftarrow \min\{low_u,low_v\}\)

• 回边：\(low_u\leftarrow \min\{low_u,dfn_v\}\)

若存在一个结点\(u\)满足\(dfn_u = low_u\)，则\(u\)是一个强连通分量的根节点.

Tarjan 算法与无向图连通性

定义

给定无向连通图\(G=(V,E)\)

• 对于结点\(x\in E\)，如果删除\(x\)和它所连的边后，\(G\)不再连通，我们称\(x\)是无向连同图\(G\)的一个割点

• 对于边\(y\in V\)，如果删除\(y\)后，\(G\)不再连同，我们称\(y\)是无向连通图\(G\)的桥

桥的判定法则

无向边\(x\rightarrow v\)是桥，当且仅当\(y\)为搜索树上\(x\)的一个子结点，满足

\[dfn_x<low_y \]

证明很容易，这里不再证明

割点的判定法则

同理.