傅里叶级数展开
拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示，比如下图中，黑色的斜线是周期为 $2\pi$ 的函数，而红色的曲线是三角函数
之和，可以看出两者确实近似：
另一位数学家傅里叶猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。
首先先证明一个结论：任意一个函数都可拆分成一个偶函数和一个奇函数的和。
证明
易知
$$f(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} + \frac{f(x) + f(-x)}{2} = g(x) + h(x)$$
因为
$$g(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -g(x) \\
h(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = h(x)$$
所以 $g(x)$ 是奇函数，$h(x)$ 是偶函数，即 $f(x)$ 可以展开为奇函数和偶函数的和。
证毕
傅里叶就试图将周期为 $T$ 的函数 $f(x)$ 展开为 $\sin x$ 和 $\cos x$ 函数和的形式。
那怎么保证组合出来的函数周期依然为 $T$ 呢？
我们知道函数 $f = \sin \omega t$ 的周期为 $T^{'} = \frac{2\pi}{\omega}$，要使得原函数能够被三角函数表示，那么三角函数的粒度必然要小于原函数，
即三角函数的最小周期 $T^{'}$ 必须小于原函数 $f(x)$ 的最小周期 $T$，即
$$\frac{2\pi}{\omega} \leq T \\
\Rightarrow \frac{2\pi n}{\omega} = T, \; n > 0$$
这里的 $n$ 必须是一个整数，对于周期函数，它的分量的角频率也必定是原函数角频率的整数倍，这一点不做证明。
现在我们有了各种三角函数，如 $\sin x,\sin 2x,\sin 3x,\sin 4x$，对于最初举的周期为 $2\pi$ 的函数，可以用这些三角函数慢慢逼近。
综上，构造出来的三角函数展开式形式为
$$f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}\left ( a_{n}\cos \frac{2\pi n}{T}x + b_{n}\sin \frac{2\pi n}{T}x \right ) + C$$
其中 $\frac{2\pi}{T}$ 是原始信号的角频率，因为 $n > 1$，可见分量的角频率必然不小于原始信号的频率，是原始信号频率的整数倍。所以这里的 $n$
不要认为是索引序号，而是分量的角频率与原始信号角频率的倍数关系，如果没有某个倍数对应的分量，那么这一项就是 $0$。
那怎么确定参数 $C,a_{n},b_{n}$ 呢？先来了解一下三角函数的正交性。
三角函数系列 $1,\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x,..., \cos nx, \sin nx,...$，在区间 $\left [ -\pi, +\pi \right ]$ 上是正交函数系，即
$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos nxdx = 0, (n = 1,2,3,...) \;\;\; \int_{-\pi}^{\pi}\sin nxdx = 0, (n = 1,2,3,...) \\
\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx \sin nx dx = 0, (m,n = 1,2,3,...) \\
\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx \cos nx dx = 0, (m,n = 1,2,3,..., m \neq n) \;\;\; \int_{-\pi}^{\pi}\sin mx \sin nx dx = 0, (m,n = 1,2,3,..., m \neq n) $$
比如，我们要求 $\cos \frac{2\pi n}{T}x$ 这一项的系数，两边都乘上它，然后两边在 $0-T$ 积分，注意这里的 $T$ 是原始信号的周期，但因为 $n > 1$，所以分解的
分量信号的周期都会比 $T$ 小而且是整数倍，那么依然可以用正交性，就会发现只留下自身那一项，基于此可求得
求 $C$ 的话，两边直接在 $0-T$ 上积分即可，可求得
$$C = \frac{a_{0}}{2}$$
在求系数的公式中，$T,f(x)$ 都是已知的，所以只要给定一个周期信号，我们就能通过傅里叶级数分解为一个一个的正弦或余弦分量，求系数很容易，
代公式算即可，难的是为什么一个周期信号一定可以分解为三角函数求和的形式，傅里叶级数展开的形式是怎么来的？这里就不做证明了。
根据欧拉公式，我们来推导一下傅里叶级数的指数形式：
$$f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}\left ( a_{n}\cos n\omega x + b_{n}\sin n\omega x \right ) \\
= \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}\left [ a_{n}\frac{e^{in\omega x} + e^{-in\omega x}}{2} + b_{n}\frac{e^{in\omega x} - e^{-in\omega x}}{2i} \right ] \\
= \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}\left [ \frac{a_{n} - ib_{n}}{2}e^{in\omega x} + \frac{a_{n} + ib_{n}}{2}e^{-in\omega x} \right ]$$
其中，$\omega$ 是原始信号的角频率，$n\omega$ 是分量的角频率，也可写成 $\omega_{n}$，因为
$$\frac{a_{n} - ib_{n}}{2} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)\cos n\omega xdx - i\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)\sin n\omega xdx \\
= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)\left (\cos n\omega x - i\sin n\omega x \right )dx \\
= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)e^{-in\omega x}dx, \; n = 1,2,3,\cdots $$
$$\frac{a_{n} + ib_{n}}{2} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)\cos n\omega xdx + i\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)\sin n\omega xdx \\
= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)\left (\cos n\omega x + i\sin n\omega x \right )dx \\
= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)e^{in\omega x}dx, \; n = 1,2,3,\cdots$$
$$\frac{a_{0}}{2} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)dx$$
惊讶得发现
$$\frac{a_{n} - ib_{n}}{2} \; \xrightarrow[]{let \; n = -n} \; \frac{a_{n} + ib_{n}}{2} \\
\frac{a_{n} - ib_{n}}{2} \; \xrightarrow[]{let \; n = 0} \; \frac{a_{0}}{2}$$
若令
$$c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)e^{-in\omega x}dx \\
= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)e^{-i\omega_{n} x}dx, \; n =0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots$$
其中 $\omega_{n}$ 是分量的角频率，则傅里叶级数展开可以写出如下形式：
$$f(x) = \sum_{n = -\infty}^{+ \infty} c_{n}e^{-in\omega x} = \sum_{n = -\infty}^{+ \infty} c_{n}e^{-i\omega_{n} x}, \;\; n \in Z$$
指数形式的傅里叶级数展开比三角形式的简洁，前者只需要求一个参数 $c_{n}$，而后者需要求三个参数 $a_{n},b_{n},a_{0}$。
由欧拉公式我们知道，$e^{j\theta}$ 表示复平面上的一个旋转了 $\theta$ 弧度的向量，那么指数形式的傅里叶形式就可以理解为：无数旋转的叠加。
或者说是：圆周运动的组合。
因为欧拉公式的存在，正弦函数或者余弦函数以及它们的组合就可以看成虚数 $e^{j\theta}$ 的实部或者虚部，也就提供了另一个角度来观察函数 $f(x)$
的展开分量，原来的级数展开是时域上的各个信号相加，到复平面之后，它的分量就变成了一个个向量 $e^{j\omega t}$，在以各自的角频率旋转。比如上面
右图中所示就是函数 $g(x)$ 分解为两个正弦分类后在复平面上的情况：
$$g(x) = \sin x + \sin 2x \\
\Rightarrow e^{ix} = \cos x + i \sin x \;\; e^{i2x} = \cos 2x + i \sin 2x \\
\Rightarrow e^{ix} + e^{i2x} = (\cos x + \cos 2x) + i(\sin x + \sin 2x)$$
那么 $g(x)$ 的时域图像就是向量 $e^{ix}$ 和 $e^{i2x}$ 在复平面上合成后的虚轴变化情况。
频谱一般分为幅度谱和相位谱两种，那怎么画幅度谱呢？幅度谱是哪两个量之间的关系呢？幅度谱分为两种
1）单边幅度谱
只考虑频率为正数部分得到的频谱，由三角形式的傅里叶级数得到，根据三角函数的归一公式是可以只保留正弦函数或余弦函数的，即
$$f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}\left ( a_{n}\cos n\omega x + b_{n}\sin n\omega x \right ) \\
= c_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty}c_{n}\cos\left ( n\omega x + \varphi_{n} \right)$$
其中
$$\varphi_{n} = -\arctan \frac{b_{n}}{a_{n}} \\
c_{n} = \sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}, n = 1,2,3,\cdots \\
c_{0} = \frac{a_{0}}{2}$$
单边幅度谱就是 $c_{n},n = 1,2,3,...$ 关于 $n\omega$ 的离散的图像。
2）双边幅度谱
由指数形式的傅里叶级数推导过程可知：
$$c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)e^{-in\omega x}dx, \; n =0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots$$
因为 $c_{n}$ 是一个复数，可以可以写成模和辐角的形式，即
$$c_{n} = \left | c_{n} \right |e^{i\varphi_{n}}, \; n =0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots$$
又因为
$$c_{n} = \frac{a_{n} - ib_{n}}{2}, \; n =0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots$$
所以
$$\left |c_{n} \right | = \frac{\sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}}{2} \\
\varphi_{n} = -\arctan \frac{b_{n}}{a_{n}}$$
双边幅度谱就是 $c_{n},n = 0, \pm1,\pm2,\pm3,...$ 关于 $n\omega$ 的离散的图像。
可以看出，除了 $n = 0$，双边幅度谱的高度是单边幅度谱的一半，在 $n = 0$ 两者高度的绝对值相等。
