关于容斥原理

简单的不说了，直接开题。

P1450 [HAOI2008] 硬币购物

题意

有 \(c1, c2, c3, c4\) 四种面值的硬币，询问多次，给你每个硬币最多有多少个，问凑出 \(S\) 面值的方案。

分析

考虑一个 \(f_i\) 是 i 号硬币不满足条件的方案数，那么答案即为 \(U - \sum_i^4 |\cup U_i|\)。

第一部分，即不考虑限制的答案，可以考虑一个完全背包，时间复杂度 \(O(4S)\)。

第二部分可以尝试一下容斥。你某一个硬币 i 取大于 \(d_i\) 个的方案数，就是先去上 \(d_i + 1\) 个，然后随便取。所以我们直接将 \(S\) 减去 \((d_i + 1) \times c_i\)，然后依旧完全背包。时间复杂度 \(O(2^4 \times n \times S^2)\)。

考虑到可以预处理，则复杂度为 \(O(4S + 2^nn)\)