国庆梦熊集训做题记录

炼石计划

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D3 作业

A. 关于整除分块

B. 题解：ABC192F Potion

最开始的想法遍历 k 判断可行，然后再想办法把时间求出来。
判断可行是很简单的，我们只需要满足 \(\sum_{i=1}^k a_{e_i} \equiv x \pmod k\)。
这个是好算的，我们做一个模 k 的可行性 01 背包。
然后去向如何找那个加起来的时间，发现可以将这个时间放到 dp 值里面存着，维护模 k 是 j 的最大加和就做完了。

C.Vanya and Treasure

显然的，我们按照开箱子的顺序，记录 \(f_{x, y, p}\) 表示我开某一个 p 类型的箱子后，我站在 \((x, y)\) 上。
这个的转移是我去枚举我下一个类型的箱子开哪个。
然后这个东西发现他的转移会被卡到 \(O(nm)\) 就烂掉了。
我们考虑一个经典的东西，我们看到这种曼哈顿距离可以考虑四个象限来想，分别维护四个象限的前缀最小值。
这个东西用二维前缀和维护不了，但是我们可以扫描线或者二位树状数组来做，注意初始化的手法，不要忘记抹去最开始写的一些东西。

D.ABC134F Permutation Oddness

简单说说题面，问你 \(a\) 是一个长度为 \(n\) 的排列， 问有多少个怪异值，即 \(\sum_{i=1}^{n} |i - a_i| = k\) 的 \(a\)。
对于这种绝对值形式的东西，我们可以考虑拆贡献，其中 \(i\) 或者 \(a_i\) 是较小的时，那么贡献是 -1，否则是 +1。
那么这就是将 \(i\) 与 \(a_i\) 配对。
考虑一个朴素的 DP，\(\displaystyle f_{i, x, y, k}\) 是遍历到第 i 对，前面有 x 个下标没配对，y 个值没配对，已经有 k 个贡献的方案数。
显然的，如果我确定一个值或者下标是向后或向前匹配了，那么他对怪异值的贡献就确定了。
然后我们推导转移时可以发现，如果互相指，那么都不变，而后分析，如果两个都向前或都向后，那么 x，y 均加一或减一，如果一个向前一个向后，x，y 是不变的。
这样 x 和 y 的值就是一样的，我们可以将状态砍掉一维。
转移就很好推了。

E.P9197 [JOI Open 2016] 摩天大楼 / Skyscraper

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排列类问题

1. 处理大小关系
2. 从小到大或从大到小插入排列

D4 做题笔记

F. CF1670F - Jee, You See?

做这道题有点费劲，昨天虽然讲了，但是有些细节没想明白。
先是状态有点问题，导致并不是很好统计答案和初始化，后面重新设计了一下转移方式，好写了一些。
感觉就是说应该在自己写方程的同时把初始状态什么的写一下，避免出问题。
还有一个点就是说用阶乘加阶乘逆元的方式处理会 TLE，还是能用递推杨辉三角就用递推吧。

AT_abc242_f Black and White Rooks

最开始想的有点问题，计算某行某列中放一些点计算错了，后来瞄了一眼题解，然后写个小 DP 就过了。

D7

P11791 [JOI 2017 Final] 准高速电车 / Semiexpress

我停车的位置肯定是慢车太慢到不了，快车不停的位置。
我一个准高速车停车，会让这个点和后面几个点可以到达（慢车）。
考虑我处理出来这样的区间，然后就是选择一堆区间，求区间最大并。
考虑一个dp，当前区间是 \([l, r]\) 时 \(f_r = max_{j=l}^r{f_j - (j - l)} = max{f_j - j} + l\)。
但是 n 太大了。
考虑我一个东西肯定按照区间大小取，因为考虑我取了一个大的，肯定比取小的优。
那么就是如何快速算出这个区间大小。
考虑最大的区间定然是，就是一段慢车能到的点后一个，直到一个快车点结束，肯定不会到这个快车点后面，或者就是这个慢车开不到那个快车点。

P11795 [JOI 2016 Final] 铁路票价 / Train Far

想了一会，想到了最短路径生成树，也是没有读请出题导致有点想歪了。看了题解发现其实就是在一条边如果加了 1 那么就相当于断掉了他。我保留在最短路径上的点和边，然后它就是一个 DAG，然后就简单类似拓扑的操作，一个点可能有多个最短路径的来源，我记一下前驱个数，当一个点的前驱删光了，那么这个点也就不能用来更新前驱里有他的点了，就这样做就行了，复杂度 \(O(m)\)。

P11792 [JOI 2017 Final] JOIOI 王国 / Kingdom of JOIOI

先想到它的形态是在一个角上的一个部分，想到二分答案后一行一行考虑，把所有小于 minn + mid 的拿走，忘记自己二分答案了，还可以算一下把所有大于等于 maxn - mid 的全取走看看是否冲突。这其实启示我们在一些能看出明显二分答案的题时，可以考虑在想 check 时主动去构造一些可能矛盾的条件（感觉说的不是很清楚，就是说如果两个条件，我可以考虑将两个都满足，然后看是否冲突）。