Dilworth定理证明

Dilworth定理:对于一个偏序集,最少链划分等于最长反链长度。

Dilworth定理的对偶定理:对于一个偏序集,其最少反链划分数等于其最长链的长度。

偏序集的定义:偏序是在集合X上的二元关系≤(这只是个抽象符号,不是“小于或等于”,它满足自反性、反对称性和传递

性)。即,对于X中的任意元素a,b和c,有:

 

(1)自反性:a≤a;

(2)反对称性:如果a≤b且b≤a,则有a=b;

(3)传递性:如果a≤b且b≤c,则a≤c 。

 

带有偏序关系的集合称为偏序集。

 

 


令(X,≤)是一个偏序集,对于集合中的两个元素a、b,如果有a≤b或者b≤a,则称a和b是可比的,否则a和b不可比。

在这个例子(反链)中元素Ri<=Rj是指(i<=j) and (ai>=aj)

 

一个反链A是X的一个子集,它的任意两个元素都不能进行比较。

一个链C是X的一个子集,它的任意两个元素都可比。

 

【定理】

在X中,对于元素a,如果任意元素b,都有a≤b,则称a为极小元。

定理1:令(X,≤)是一个有限偏序集,并令r是其最大链的大小。则X可以被划分成r个但不能再少的反链。

 

其对偶定理称为Dilworth定理:

令(X,≤)是一个有限偏序集,并令m是反链的最大的大小。则X可以被划分成m个但不能再少的链。

虽然这两个定理内容相似,但第一个定理证明要简单一些。此处就只证明定理1。

 

证明:设p为最少反链个数

(1)先证明X不能划分成小于r个反链。由于r是最大链C的大小,C中任两个元素都可比,因此C中任两个元素都不能属于同一反

链。所以p>=r。

(2)设X1=X,A1是X1中的极小元的集合。从X1中删除A1得到X2。注意到对于X2中任意元素a2,必存在X1中的元素a1,使得

a1<=a2。令A2是X2中极小元的集合,从X2中删除A2得到X3……,最终会有一个Xk非空而Xk+1为空。于是A1,A2,…,Ak就是X的

反链的划分,同时存在链a1<=a2<=…<=ak,其中ai在Ai内。由于r是最长链大小,因此r>=k。由于X被划分成了k个反链,因此

r>=k>=p。

(3)因此r=p,定理1得证。

(转载)

posted @ 2018-03-06 08:09 TobicYAL 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏