BZOJ2005 [Noi2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

题解

可以发现(x,y)的能量损耗就是gcd(x,y)-1,所以

$$\begin{aligned}
ans &= \sum_{i, j} 2(gcd(i,j)-1)+1\\
&= 2\left(\sum_{i, j}gcd(i, j)\right)-nm\\
&= 2\left(\sum_{d}d\sum_{i, j}\left[gcd(i, j)=d\right]\right)-nm\\
&= 2\left(\sum_{d}d\sum_{d|t}\mu\left(\frac td\right)\sum_{i, j}\left[t|gcd(i, j)\right]\right)-nm\\
&= 2\left(\sum_{d}d\sum_{d|t}\mu\left(\frac td\right)\left\lfloor\frac nt\right\rfloor\left\lfloor\frac mt\right\rfloor\right)-nm\\
&= 2\left(\sum_{t}\left\lfloor\frac nt\right\rfloor\left\lfloor\frac mt\right\rfloor\sum_{d|t}d\mu\left(\frac td\right)\right)-nm\\
&= 2\left(\sum_{t}\left\lfloor\frac nt\right\rfloor\left\lfloor\frac mt\right\rfloor\phi(t)\right)-nm
\end{aligned}$$

枚举t，计算即可。

附代码：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
typedef long long LL;
const int N = 100050;
int phi[N];
void getPhi() {
  for (int i = 1; i < N; ++i) phi[i] = i;
  for (int i = 2; i < N; ++i) if (phi[i] == i)
    for (int j = i; j < N; j += i)
      phi[j] -= phi[j] / i;
}
int main() {
  int n, m;
  scanf("%d%d", &n, &m);
  LL ans = 0;
  getPhi();
  for (int i = 1; i <= n && i <= m; ++i)
    ans += (LL)phi[i] * (n / i) * (m / i);
  printf("%lld\n", ans * 2 - (LL)n * m);
  return 0;
}