行列式的本质是什么?

作者:童哲
链接:https://www.zhihu.com/question/36966326/answer/70687817
来源:知乎

行列式这个“怪物”定义初看很奇怪,一堆逆序数什么的让人不免觉得恐惧,但其实它是有实际得不能更实际的物理意义的,理解只需要三步。这酸爽~


1,行列式det(A)是针对一个n\times n的矩阵A而言的。A表示一个n维空间到n维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢?无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个n维的立方体(随便什么形状),其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换,变成n维空间中的一个新立方体。

2,原来立方体有一个体积V_{1},新的立方体也有一个体积V_{2}

3,行列式det(A)是一个数对不对?这个数其实就是 V_{2} \div V_{1} ,结束了。

就这么简单?没错,就这么简单。



所以说:行列式的本质就是一句话:

行列式就是线性变换的放大率!




理解了行列式的物理意义,很多性质你根本就瞬间理解到忘不了!!!比如这个重要的行列式乘法性质:

det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)

道理很简单,因为放大率是相乘的啊~!



你先进行一个A变换,再进行一个B变换,放大两次的放大率,就是式子左边。
你把“先进行A变换,再进行B变换”定义作一个新的变换,叫做“BA”,新变换的放大律就是式子右边。

然后你要问等式两边是否一定相等,我可以明确告诉你:too simple 必须相等。因为其实只是简单的把事实陈述出来了。这就好像:

“ 你经过股票投资,把1块钱放大3被变成了3块钱,然后经过实业投资,把3块钱中的每一块钱放大5倍成了5块钱。请问你总共的投资放大率是多少?”

3\times 5=15

翻译成线性代数的表达就是:

det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)





这还不够!我来解锁新的体验哈~

上回咱们说到行列式其实就是线性变换的放大率,所以你理解了:
det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)

那么很自然,你很轻松就理解了:
det(AB)=det(BA)

so easy,因为
det(AB)=det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)



同时你也必须很快能理解了

“矩阵A可逆” 完全等价于 “det(A)\ne 0

因为再自然不过了啊,试想det(A)=0是什么意思呢?不就是线性变换A把之前说的n维立方体给拍扁了啊?!这就是《三体》中的”降维打击”有木有!!!如来神掌有木有!!!直接把3维立方体 piaji一声~一掌拍成2维的纸片,纸片体积多少呢?当然是 0 啦!

请注意我们这里说的体积都是针对n维空间而言的,det(A)=0 就表示新的立方体在 n维空间体积为0,但是可能在n-1维还是有体积的,只是在 n维空间的标准下为0而已。好比一张纸片,“2维体积”也就是面积可以不为0,但是“3维体积”是妥妥的0。

所以凡是det(A)=0的矩阵A都是耍流氓,因为这样的变换以后就再也回不去了,降维打击是致命性的。这样的矩阵必然是没有逆矩阵 A^{-1} 的。这就是物理意义和图象思维对理解数学概念的重要性。



当然要证明也是小菜一碟轻而易举的:

AA^{-1}=I

可知 det(A)\times det(A^{-1}  )=det(I)=1

这怎么可能啊~? det(A)=0了,那么det(A^{-1} )等于多少呢?毫无办法,只能不存在。一个矩阵怎么可能行列式不存在呢?只能是因为 A^{-1} 不存在。所以A自然不可逆。




YES!竟然真的过1000了,我来加点儿烧脑的,第一次看以下结论如果没有毁三观亮瞎双眼的刺激感,请接受阿哲的膝盖:

傅里叶变换也可以求行列式!!!


是的你没有听错,大名鼎鼎的傅里叶变换 F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx 居然也可以求行列式!!!


首先一定有很多人要问责我,是不是没有学过行列式,因为按照绝大多数教科书来说,行列式是这样定义的:

det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n} }^{}{}  sgn(\sigma )\prod_{i=1}^{n} A_{\sigma (i)i}


然后还有什么好说的,拿到一个矩阵各种化简然后算就好了呗,可是怎么说傅里叶变换也可以求行列式?傅里叶变换又不是一个矩阵,更别说矩阵元A_{ij} 了。我在痴人说梦吗?

但是,等等!桥度麻袋,“傅里叶变换”里面有个"变换",难道它也是“线性变换”?!!!


一检查,尼玛还真的是。所有函数f(x)就组成了一个向量空间,或者说线性空间。可是为什么呢?从高中咱们就熟悉的f(x)明明是函数啊,怎么就变成了向量v呢?向量v不是一个n维空间中的箭头吗?长得也不像啊。



其实 “所有f(x)组成的集合” 确实满足一切线性空间的定义,比如:

1,向量f(x)和向量g(x)可以相加,并且有交换律f(x)+g(x)=g(x)+f(x)

2,存在零向量 f(x)=0(x),即处处值为零的函数

3,任何一个向量f(x)都存在一个与之对应的逆向量-f(x),使得相加之和等于零向量 f(x)+(-f(x))=0(x)

以及存在数乘以及分配率等性质…… 总之“所有向量f(x)组成的集合”完美满足线性空间的8条黄金法则。



艾玛真是亮瞎了俺的钛合金左眼,原来咱们熟悉的函数f(x)身世可不一般啊,其实它是一个掩藏得很好的向量!!!对,我没有说错,因为所有函数f(x)组成的集合构成了一个线性空间!而且还是无穷维的线性空间!!!阿哲校长感动得哭了 T____T


好,下面准备亮瞎钛合金右眼吧~

一旦接受了向量f(x)是向量的设定,周围的一切都变得有趣起来了!轶可赛艇!!!


接下来不妨思考一下,傅里叶变换 F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx 是把一个函数f(x)变成了另一个函数F(k),难道不可以理解为把一个线性空间中的向量f(x)变成了另一个线性空间中的向量F(k)吗? 我整个人都咆哮了!!!



而且这个变换是妥妥的线性的,完美地满足线性变换的定义:

A(v_{1}+v_{2})=Av_{1}+Av_{2} 以及 A(k \times v_{1})=k\times   Av_{1}


因为积分变换的线性性:

f(x)+g(x)的傅里叶变换=\int_{-\infty }^{\infty} (f(x)+g(x))e^{ikx}dx=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx+\int_{-\infty }^{\infty} g(x)e^{ikx}dx=f(x)的傅里叶变换+g(x)
的傅里叶变换

加法达成。当然数乘也轻松满足:

\int_{-\infty }^{\infty} (kf(x))e^{ikx}dx=k\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx


于是乎,我们通过以上内容知道了一个重要的结论:

傅里叶变换其实也是线性变换,所以也可以求行列式!!!


(其实傅里叶变换作为一个线性变换不但可以求行列式,更可以求它的特征向量!!比如f(x)=e^{-x^{2} /2} ,以及其他很多很多牛逼的东东,恭喜你又一扇新世界的大门被打开了。千万不要小看傅里叶变换,比如量子力学不确定性原理的秘密就都在这里了)



言归正传那么傅里叶变换神秘的行列式的值det(F) 究竟是多少呢?难道这个无穷维线性变换也可以求出行列式吗?



那阿哲就把det(F) 求出来给你看:

很明显的问题是这是一个比较困难的问题,如果不太困难的话评论中应该有人po出了答案。因为求傅里叶变换的行列式让我们觉得没有工具可以用,行列式的定义式毫无用武之地。毕竟没有谁能够写出傅里叶变换的\infty \times \infty 矩阵表达式并套用公式。

所以一定要用到其他的化简办法,例如对称性啊等等。不妨先回顾一下之前的结论,对于任何可逆线性变换A有如下性质:

det(A)\times det(A^{-1} )=det(I)=1

如果把傅里叶变换F看做是一个无穷维的A,那么也一定满足这个性质。所以只要求出了傅里叶变换的逆变换的行列式,求一个倒数就得到了傅里叶变换的行列式。

艾玛~ 问题变得更难了。傅里叶变换的逆变换?还好我学过。。。

若傅里叶变换是: F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx

则它的逆变换是:f(x)=\frac{1}{2\pi } \int_{-\infty }^{\infty} F(k)e^{-ikx}dk (说明傅里叶变换可逆,因为表达式都出来了)

现在的问题是,正负变换,我都不会求行列式,唯一知道的是 det(F)\times det(F^{-1} )=1 为之奈何?我们还需要至少一个表达式能够反映二者的关系,连立起来才能够求解。

没问题,因为这两个变换真是太像了,像到几乎完全对称。差异点仅仅在于逆变换多一个乘积系数\frac{1}{2\pi } ,以及积分因子e^{ikx} 多了一个负号。除此之外完全是同一个线性变换。而积分因子e^{ikx} 多一个负号是什么意思?意味着复数空间的手性定义相反,i变成了-i,左手变成右手,或者说虚数部分取负号实数部分不变。这样的手性改变,并不会改变线性变换的体积放大率(之前的知识)。于是乎在线性变化的方法率的意义下,傅里叶变换和它的逆变换放大率是一样的(还差一个乘积系数\frac{1}{2\pi } )。

于是也就是说det(F^{-1} )=\frac{1}{2\pi } det(F)

结合之前的式子 det(F)\times det(F^{-1} )=1

我们很容以得到 det(F)=\sqrt{2\pi }

(更严格来说更对称的傅里叶变换版本F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx的行列式为1)


我去,真的可以求啊。是的,你已经求出来了,虽然神一般的无穷维行列式的计算公式并没有出现,但你确实求出来了。而且阿哲再附送大家一个彩蛋:


都说求导可以把一个函数f(x)变成另一个函数f'(x),如果我们把“求导这个操作”D当做是一个线性变换,发现其实也是完全合理的:

D:   f(x)\rightarrow f'(x)

线性性完美地满足:

D:   k_{1} f(x)+k_{2} g(x)\rightarrow k_{1}f'(x)+k_{2}g'(x)

那么请问"求导作为函数空间下的线性变换行列式”等于多少呢?


思考一下。。。


再思考一下。。。前方剧透请小心手滑!!!











。。。


det(D)=0


因为,它是不可逆的!

你要问我兹次不兹次?我可以明确告诉你,不可逆的线性变换都是耍流氓,行列式都等于零。不要没事就搞个大新闻。

(全剧终,其他文章连载继续。时间太少更新不够勤,请多包涵。另外数学中的严格性在本文中并不能体现,也请海涵。)


★★★★★ 知识创造乐趣,你是你的大学 ★★★★★
posted @ 2017-04-16 15:40 Xzzzh 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏