行列式的本质是什么？

作者：童哲
链接：https://www.zhihu.com/question/36966326/answer/70687817
来源：知乎

行列式这个“怪物”定义初看很奇怪，一堆逆序数什么的让人不免觉得恐惧，但其实它是有实际得不能更实际的物理意义的，理解只需要三步。这酸爽~


1，行列式det(A)是针对一个n\times n的矩阵A而言的。A表示一个n维空间到n维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢？无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个n维的立方体（随便什么形状），其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换，变成n维空间中的一个新立方体。

2，原来立方体有一个体积V_{1}，新的立方体也有一个体积V_{2} 。

3，行列式det(A)是一个数对不对？这个数其实就是 V_{2} \div V_{1} ，结束了。

就这么简单？没错，就这么简单。



所以说：行列式的本质就是一句话：

行列式就是线性变换的放大率！




理解了行列式的物理意义，很多性质你根本就瞬间理解到忘不了！！！比如这个重要的行列式乘法性质：

det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)

道理很简单，因为放大率是相乘的啊~！



你先进行一个A变换，再进行一个B变换，放大两次的放大率，就是式子左边。
你把“先进行A变换，再进行B变换”定义作一个新的变换，叫做“BA”，新变换的放大律就是式子右边。

然后你要问等式两边是否一定相等，我可以明确告诉你：too simple 必须相等。因为其实只是简单的把事实陈述出来了。这就好像：

“ 你经过股票投资，把1块钱放大3被变成了3块钱，然后经过实业投资，把3块钱中的每一块钱放大5倍成了5块钱。请问你总共的投资放大率是多少？”

3\times 5=15

翻译成线性代数的表达就是：

det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)





这还不够！我来解锁新的体验哈~

上回咱们说到行列式其实就是线性变换的放大率，所以你理解了：
det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)

那么很自然，你很轻松就理解了：
det(AB)=det(BA)

so easy，因为
det(AB)=det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)



同时你也必须很快能理解了

“矩阵A可逆” 完全等价于 “det(A)\ne 0”

因为再自然不过了啊，试想det(A)=0是什么意思呢？不就是线性变换A把之前说的n维立方体给拍扁了啊？！这就是《三体》中的”降维打击”有木有！！！如来神掌有木有！！！直接把3维立方体 piaji一声~一掌拍成2维的纸片，纸片体积多少呢？当然是 0 啦！

请注意我们这里说的体积都是针对n维空间而言的，det(A)=0 就表示新的立方体在 n维空间体积为0，但是可能在n-1维还是有体积的，只是在 n维空间的标准下为0而已。好比一张纸片，“2维体积”也就是面积可以不为0，但是“3维体积”是妥妥的0。

所以凡是det(A)=0的矩阵A都是耍流氓，因为这样的变换以后就再也回不去了，降维打击是致命性的。这样的矩阵必然是没有逆矩阵 A^{-1} 的。这就是物理意义和图象思维对理解数学概念的重要性。



当然要证明也是小菜一碟轻而易举的：

由 AA^{-1}=I

可知 det(A)\times det(A^{-1} )=det(I)=1

这怎么可能啊~？ det(A)=0了，那么det(A^{-1} )等于多少呢？毫无办法，只能不存在。一个矩阵怎么可能行列式不存在呢？只能是因为 A^{-1} 不存在。所以A自然不可逆。




YES！竟然真的过1000了，我来加点儿烧脑的，第一次看以下结论如果没有毁三观亮瞎双眼的刺激感，请接受阿哲的膝盖：

傅里叶变换也可以求行列式！！！


是的你没有听错，大名鼎鼎的傅里叶变换 F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx 居然也可以求行列式！！！


首先一定有很多人要问责我，是不是没有学过行列式，因为按照绝大多数教科书来说，行列式是这样定义的：

det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n} }^{}{} sgn(\sigma )\prod_{i=1}^{n} A_{\sigma (i)i}


然后还有什么好说的，拿到一个矩阵各种化简然后算就好了呗，可是怎么说傅里叶变换也可以求行列式？傅里叶变换又不是一个矩阵，更别说矩阵元A_{ij} 了。我在痴人说梦吗？

但是，等等！桥度麻袋，“傅里叶变换”里面有个"变换"，难道它也是“线性变换”？！！！


一检查，尼玛还真的是。所有函数f(x)就组成了一个向量空间，或者说线性空间。可是为什么呢？从高中咱们就熟悉的f(x)明明是函数啊，怎么就变成了向量v呢？向量v不是一个n维空间中的箭头吗？长得也不像啊。



其实 “所有f(x)组成的集合” 确实满足一切线性空间的定义，比如：

1，向量f(x)和向量g(x)可以相加，并且有交换律f(x)+g(x)=g(x)+f(x)

2，存在零向量 f(x)=0(x)，即处处值为零的函数

3，任何一个向量f(x)都存在一个与之对应的逆向量-f(x)，使得相加之和等于零向量 f(x)+(-f(x))=0(x)

以及存在数乘以及分配率等性质…… 总之“所有向量f(x)组成的集合”完美满足线性空间的8条黄金法则。



艾玛真是亮瞎了俺的钛合金左眼，原来咱们熟悉的函数f(x)身世可不一般啊，其实它是一个掩藏得很好的向量！！！对，我没有说错，因为所有函数f(x)组成的集合构成了一个线性空间！而且还是无穷维的线性空间！！！阿哲校长感动得哭了 T____T


好，下面准备亮瞎钛合金右眼吧~

一旦接受了向量f(x)是向量的设定，周围的一切都变得有趣起来了！轶可赛艇！！！


接下来不妨思考一下，傅里叶变换 F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx 是把一个函数f(x)变成了另一个函数F(k)，难道不可以理解为把一个线性空间中的向量f(x)变成了另一个线性空间中的向量F(k)吗？ 我整个人都咆哮了！！！



而且这个变换是妥妥的线性的，完美地满足线性变换的定义：

A(v_{1}+v_{2})=Av_{1}+Av_{2} 以及 A(k \times v_{1})=k\times Av_{1}


因为积分变换的线性性：

f(x)+g(x)的傅里叶变换=\int_{-\infty }^{\infty} (f(x)+g(x))e^{ikx}dx=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx+\int_{-\infty }^{\infty} g(x)e^{ikx}dx=f(x)的傅里叶变换+g(x) 的傅里叶变换

加法达成。当然数乘也轻松满足：

\int_{-\infty }^{\infty} (kf(x))e^{ikx}dx=k\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx


于是乎，我们通过以上内容知道了一个重要的结论：

傅里叶变换其实也是线性变换，所以也可以求行列式！！！


（其实傅里叶变换作为一个线性变换不但可以求行列式，更可以求它的特征向量！！比如f(x)=e^{-x^{2} /2} ，以及其他很多很多牛逼的东东，恭喜你又一扇新世界的大门被打开了。千万不要小看傅里叶变换，比如量子力学不确定性原理的秘密就都在这里了）



言归正传那么傅里叶变换神秘的行列式的值det(F) 究竟是多少呢？难道这个无穷维线性变换也可以求出行列式吗？



那阿哲就把det(F) 求出来给你看：

很明显的问题是这是一个比较困难的问题，如果不太困难的话评论中应该有人po出了答案。因为求傅里叶变换的行列式让我们觉得没有工具可以用，行列式的定义式毫无用武之地。毕竟没有谁能够写出傅里叶变换的\infty \times \infty 矩阵表达式并套用公式。

所以一定要用到其他的化简办法，例如对称性啊等等。不妨先回顾一下之前的结论，对于任何可逆线性变换A有如下性质：

det(A)\times det(A^{-1} )=det(I)=1

如果把傅里叶变换F看做是一个无穷维的A，那么也一定满足这个性质。所以只要求出了傅里叶变换的逆变换的行列式，求一个倒数就得到了傅里叶变换的行列式。

艾玛~ 问题变得更难了。傅里叶变换的逆变换？还好我学过。。。

若傅里叶变换是： F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx

则它的逆变换是：f(x)=\frac{1}{2\pi } \int_{-\infty }^{\infty} F(k)e^{-ikx}dk （说明傅里叶变换可逆，因为表达式都出来了）

现在的问题是，正负变换，我都不会求行列式，唯一知道的是 det(F)\times det(F^{-1} )=1 为之奈何？我们还需要至少一个表达式能够反映二者的关系，连立起来才能够求解。

没问题，因为这两个变换真是太像了，像到几乎完全对称。差异点仅仅在于逆变换多一个乘积系数\frac{1}{2\pi } ，以及积分因子e^{ikx} 多了一个负号。除此之外完全是同一个线性变换。而积分因子e^{ikx} 多一个负号是什么意思？意味着复数空间的手性定义相反，i变成了-i，左手变成右手，或者说虚数部分取负号实数部分不变。这样的手性改变，并不会改变线性变换的体积放大率（之前的知识）。于是乎在线性变化的方法率的意义下，傅里叶变换和它的逆变换放大率是一样的（还差一个乘积系数\frac{1}{2\pi } ）。

于是也就是说det(F^{-1} )=\frac{1}{2\pi } det(F)

结合之前的式子 det(F)\times det(F^{-1} )=1

我们很容以得到 det(F)=\sqrt{2\pi }

（更严格来说更对称的傅里叶变换版本F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx的行列式为1）


我去，真的可以求啊。是的，你已经求出来了，虽然神一般的无穷维行列式的计算公式并没有出现，但你确实求出来了。而且阿哲再附送大家一个彩蛋：


都说求导可以把一个函数f(x)变成另一个函数f'(x)，如果我们把“求导这个操作”D当做是一个线性变换，发现其实也是完全合理的：

D: f(x)\rightarrow f'(x)

线性性完美地满足:

D: k_{1} f(x)+k_{2} g(x)\rightarrow k_{1}f'(x)+k_{2}g'(x)

那么请问"求导作为函数空间下的线性变换行列式”等于多少呢？


思考一下。。。


再思考一下。。。前方剧透请小心手滑！！！











。。。


det(D)=0


因为，它是不可逆的！

你要问我兹次不兹次？我可以明确告诉你，不可逆的线性变换都是耍流氓，行列式都等于零。不要没事就搞个大新闻。

（全剧终，其他文章连载继续。时间太少更新不够勤，请多包涵。另外数学中的严格性在本文中并不能体现，也请海涵。）


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posted @ 2017-04-16 15:40  Xzzzh  阅读(23277)  评论(3)  编辑  收藏  举报