数论知识总结-欧拉函数

数论知识总结-欧拉函数

NOIP爆零の辣鸡第一次学数论，啃腚有错误。。。所以这篇博客很可能是错的。。。墙裂推荐这个

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定义

定义:小于等于n且与n互质的数的个数。

\(\phi(n)=\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1]\)

求法

求法1：只求\(\phi(n)\)

从\(1\)到\(\sqrt{n}\)枚举质因子。（我也不知道为什么是对的额饿哦呃俄鹅娥厄鄂讹蛾

好像是先分解\(n=p_1^{k_1} p_2^{k_2} ... p_q^{k_q}\)，\(\phi(n)=n\times(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_q})\)

然后变一下\(\phi(n)=n\times\prod_{k|n}{\frac{k-1}{k}}\)

\(O(\sqrt{n})\)

int euler(int n){
	int ret=n,m=n;
	for(rg int i=2;i*i<=m;++i){
		if(m%i==0)ret=ret/i*(i-1);
		while(m%i==0)m/=i;
	}
	if(m>1)ret=ret/m*(m-1);//n最多有一个大于sqrt(n)的质因子（又一句废话
	return ret;)
}

求法2：求\(\phi(2),\phi(3),\phi(4),...,\phi(n)\)

需要枚举每一个质数的贡献。

所以一边筛质数一边求\(\phi\)。

几乎是线性的。\(O(n\log\log n)\)

for(int i=2;i<=n;++i)phi[i]=i;
for(int i=2;i<=n;++i)
	if(phi[i]==i)for(rg int j=i;j<=n;j+=i)phi[j]=phi[j]/i*(i-1);

一些性质

1. 若\(p\)为质数：\(\phi(n)=n-1\)，\(\phi(p^{k})=(p-1)\times p^{k-1}\)
2. \(\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1]\times i（小于等于n且与n互质的数之和）=\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1]\times (n-i)=\frac{\phi(n)\times n}{2}\)
3. 欧拉函数是鸡积性函数（积性函数是啥。。。
4. \(\phi(n)\)都是偶数（除了\(n=2\)的情况）
5. \(\sum_{d|n}\phi(d)=n\)
6. \(n\)为奇数时，\(\phi(2n)=\phi(n)\)

一些证明

1. \(\phi(n)=n-1\)：显然。
   \(\phi(p^{k})=(p-1)\times p^{k-1}\)：根据\(\phi(n)=n\times(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_q})\)，此时\(q=1,p_1=p\)，\(\phi(n)=n\times\frac{p-1}{p}=(p-1)\times p^{k-1}\)
2. 第一个等号：
   需要证明，\(如果gcd(i,n)=1,1<=i<=n，则gcd(i,n-i)=1\)
   很容易啊。。。反证就是了
   \(如果gcd(i,n)=1,1<=i<=n，gcd(i,n-i)>1\)
   设\(i=kx,n-i=ky [gcd(x,y)=1,k>1]\)，则\(n=k(x+y)\)，显然GG
   还要证明，\(如果gcd(i,n)>1,1<=i<=n，则gcd(i,n-i)>1\)
   反证就是了，不写了。
   第二个等号：
   既然证完了第一个等号那就把他俩加起来
   \(\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1]\times i+\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1]\times (n-i)=\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1]\times n=\phi(n)\times n\)
   emmmm证毕，除个2就行了
3. QAQ
4. 根据2推一推
5. 某博客里说要用到莫比乌斯反演。。。
6. 将\(n\)和\(2n\)分别代进\(\phi(n)=n\times(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_q})\)即可。

一些例板子题

嗯，基本是看题解写的。

HDU2588

\(gcd(i,n)>=m,1<=i<=n\)，求\(i\)的个数。

首先设\(n=kx,i=ky（x,y互质，显然x>=y）\)

\(gcd(i,n)=k\)，我们需要求\(k>=m\)的个数。枚举这个k。

枚举k之后，x就确定了，y要满足\(x,y互质且y<=x\)，显然y的个数为\(\phi(x)\)。

然后依然是\(O(n)\)。。。

可以折半枚举。点开上面那个博客去看吧。。。

// It is made by XZZ
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define il inline
#define rg register
#define vd void
#define sta static
typedef long long ll;
il int gi(){
    rg int x=0,f=1;rg char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
il int euler(int n){
    int ret=n,m=n;
    for(rg int i=2;i*i<=m;++i){
        if(m%i==0)ret=ret/i*(i-1);
        while(m%i==0)m/=i;
    }
    if(m>1)ret=ret/m*(m-1);
    return ret;
}
int main(){
#ifdef xzz
    freopen("in.in","r",stdin);
    freopen("out.out","w",stdout);
#endif
    int T=gi(),n,m,ans;
    while(T--){
        n=gi(),m=gi();ans=0;
        for(rg int s=1;s*s<=n;++s)
            if(n%s==0){
                if(s>=m)ans+=euler(n/s);
                if(n/s>=m&&s*s!=n)ans+=euler(s);
            }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

HDU 3501

嗯，见上面性质2及证明2

HDU 1286

嗯，见上面求法2

HDU 233333333

没了。

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BZOJ2818

首先假装\(x>=y\)。

设\(gcd(x,y)=k\)，则\(x=ak,y=bk(a,b互质，且a>=b)\)

枚举质数k，算出\(1<=x<=\lfloor n/k \rfloor\)

// It is made by XZZ
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define il inline
#define rg register
#define vd void
#define sta static
typedef long long ll;
il int gi(){
    rg int x=0,f=1;rg char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
ll phi[10000001];
bool isprime[10000001];
int main(){
    int n=gi();
    for(rg int i=1;i<=n;++i)phi[i]=i;
    for(rg int i=2;i<=n;++i)
        if(phi[i]==i){
            isprime[i]=1;
            for(rg int j=i;j<=n;j+=i)
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
    for(rg int i=1;i<=n;++i)phi[i]+=phi[i-1];
    ll ans=0,orz=0;
    for(rg int i=2;i<=n;++i)if(isprime[i])ans+=phi[n/i],++orz;
    printf("%lld\n",ans*2-orz);
    return 0;
}

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写完了。

吐血。。。