博弈学习笔记

博弈

Tags:数学

作业部落

评论地址


前言

本博文分三部分,第一部分简单介绍SG函数,第二部分简单介绍博主所理解的一些博弈模型,第三部分推荐题目以及分享做题心得,本文基本不适合初学者食用,初学者请移步下方链接

论文:2009贾志豪(百度文库可搜)
自为风月马前卒的总结
自为风月马前卒的题目
orz yyb

Part1 SG函数

优势:可以实现对多个游戏进行加和

计算方式\(SG(x)=mex(SG(y))\),其中\(mex\)指集合中最小没有出现过的自然数,\(y\)\(x\)的后继状态

游戏加和\(SG=SG(x_1) \bigoplus SG(x_2) \bigoplus ...\bigoplus SG(x_n)\)

意义\(SG=0\)表示先手必败,为P状态,否则为N状态,先手必胜

理解:化为\(Nim\)游戏,对于每个\(SG\)不为\(0\)的状态总有一种方案使得\(SG\)成为\(0\)

Part2 平等博弈模型

1.巴什博弈(Bash Game)

问题:只有一堆\(n\)个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取\(m\)个。最后取光者得胜
结论\(n\%(m+1)\)\(0\)先手必败否则必胜

2.威佐夫博弈(Wythoff Game)

问题:有两堆各若干个物品,两个人轮流同时从一到两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,最后取光者得胜
结论
先手必败态的两堆石子之差依次递增,且每个自然数仅出现一次,先手必败态为\((0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13)...\)
如果必败态为\((a,b)\)\(k=(a-b)\),则\(a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}*k\)

3.尼姆博弈(Nim Game)

问题\(n\)堆石子两人轮流在任意一堆中取任意石子,不能不取,最多取完,取到最后一颗石子者胜
结论\(n\)堆石子数量异或和为\(0\)则先手必败否则必胜
Nim游戏代表了所有平等博弈问题!!

4.Nim 游戏扩展

问题:每次最多丢\(k\)个石子,其余规则同\(Nim\)
结论:每堆石子数量\(\%(k+1)\)后再求异或和

5.Nim k 博弈

问题:一次最多在\(k\)堆中取,其余规则同\(Nim\)
结论:把石子数二进制拆开,每位求和后\(\%(k+1)\),若最后每位都为\(0\)则先手必败,否则先手必胜

6.阶梯博弈

问题:有\(n\)堆石子放在\(n\)层阶梯上,两人轮流选择一层的若干石子,放入下一层(特别地,选择\(1\)层的石子就被扔掉),无法操作者输
结论:奇数层石子的数量异或和为\(0\)则先手必败否则必胜

7.Anti-SG(反Nim游戏)

问题:取走最后一颗石子者败,其余规则同\(Nim\)
结论
当且仅当以下情况先手必胜
1.整个游戏\(SG=0\)并且没有单一游戏\(SG>1\)
2.整个游戏\(SG>0\)并且至少一个单一游戏\(SG>1\)

方便记忆的话就是:如果每一堆都是一颗石子也就是所有单一游戏的\(SG\)值为\(1\)时,有偶数个单一游戏(即整个游戏\(SG=0\))则先手必胜,否则至少有一堆石子大于\(1\)个,整个游戏的\(SG\)值不为\(0\)

8.Multi-SG

问题:在Nim游戏的基础上,操作可以是取石子也可以是把一堆石子分成非空的两堆,无法操作者输
结论\(SG\)函数解决,所有后继状态的\(mex\)

9.Every-SG

问题:玩家对于所有没有结束的单一游戏同时操作,结束最后一个单一游戏的玩家获胜
结论:对于任意一个玩家,对于必胜的单一游戏肯定要尽可能延长时间(延长到最后自己就赢了),对于必败的单一游戏肯定要尽可能缩短时间,所以必胜单一游戏对后继状态的步数取\(max\),必败单一游戏对后继状态步数取\(min\),整盘游戏是否获胜只与最长步数的单一游戏的步数的奇偶性有关

例题:HDU3595

10.翻硬币游戏

问题:正反硬币排成一排,每次可以翻转一段区间,要求左端点必须由反面翻成正面,不能操作者输,求是否先手必胜
结论:每个位置上的硬币独立,分别算\(SG\)后异或起来

11.树上删边游戏

问题:一个有根树,一次操作是选择一条边,删除此边以及删掉边后和根不连通的部分,不能操作者输
结论
\(SG(x)=mex(S)+1\)\(S\)表示为\(x\)的子树内所有点的\(SG\)值的集合
或者是\(SG(x)=\sum_{xor}(SG(son)+1)\),等价为链再化为\(Nim\)游戏即可证明

12.无向图删边游戏

问题
结论

13.动态减法问题

问题:有一个整数\(N\),双方轮流减去一个正整数值,第一次不能减完,之后每次减的数不超过\(f(x)\)\(x\)表示为上一次减的值(保证\(f(x)\)单调不降)
结论
\(H_i\)表示第\(i\)个先手必败的状态,找到最小的\(x\)使得\(f(H_x)\ge H_i\),则\(H_{i+1}=H_i+H_x\)
通过这个结论可以快速解决\(f(x)=x\)必败状态是\(2^k\)\(f(x)=2x\)必败状态是斐波那契数列

14.匹配的应用

问题:无向图中棋子在\(s\),双方轮流操作,选一条边走出去并且把之前的结点删去,不能行动者输
结论:先手必胜要求\(s\)在图中的任意最大匹配中

Part3 做题心得

1.一排石子两头取的问题

描述1

CodeForces 794E Choosing Carrot
一行数依次选择左边或右边的数丢掉,先手想要留下的数最大,后手反之,求最终留下的数

结论1

如果为偶数,留下的是正中间两个数的\(max\)
如果是奇数(\(>1\)),假设正中间三个数为\(A,B,C\),则留下的为\(min(B,max(A,C))\)

附录:题单

论文:2009贾志豪
自为风月马前卒总结:http://www.cnblogs.com/zwfymqz/tag/博弈论/
自为风月马前卒题目:http://www.cnblogs.com/zwfymqz/category/1019908.html

posted @ 2018-07-31 19:21  饕餮传奇  阅读(763)  评论(0编辑  收藏  举报